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OMB 2006 Finale MAXI Question 4 - Solution de Cédric De Groote Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2006 Finale MAXI Question 4 - Solution de Cédric De Groote
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Question :

Les réels positifs , sont tels que .

(a) Quelle est la valeur maximale de ?

(b) Pour quelles valeurs de ce maximum est-il atteint ?

(c) Quel est l'ensemble des valeurs de ?



Solution de Cédric De Groote :


Nous pouvons commencer par poser que et que , avec r>0 et , puisque x et y sont positifs.
Le problème revient alors à trouver le maximum de






a) variant de -1 à 1, varie de 0 à 1 . L'expression trouve donc son maximum lorsque




Or, au vu des conditions posées au début, , et donc on peut dire que .
Il reste à trouver r afin de pouvoir trouver le maximum, dont on peut déjà dire qu'il sera égal à .
Il faut que





Le maximum est donc

b)Nous avons donc que et . Le couple {1;1} donne donc le maximum.

c) L'expression trouve son minimum lorsque trouve son minimum, c'est-à-dire lorsque . Puisque la fonction est continue, et puisque nous avons montré que son minimum est 0 et que son maximum est 2, nous pouvons dire par le théorème des valeurs intermédiaires, et au vu des conditions du problème, que prend toutes les valeurs entre 0 et 2.



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