Nous pouvons commencer par poser que et que , avec r>0 et , puisque x et y sont positifs. Le problème revient alors à trouver le maximum de
a) variant de -1 à 1, varie de 0 à 1 . L'expression trouve donc son maximum lorsque
où
Or, au vu des conditions posées au début, , et donc on peut dire que . Il reste à trouver r afin de pouvoir trouver le maximum, dont on peut déjà dire qu'il sera égal à . Il faut que
Le maximum est donc
b)Nous avons donc que et . Le couple {1;1} donne donc le maximum.
c) L'expression trouve son minimum lorsque trouve son minimum, c'est-à-dire lorsque . Puisque la fonction est continue, et puisque nous avons montré que son minimum est 0 et que son maximum est 2, nous pouvons dire par le théorème des valeurs intermédiaires, et au vu des conditions du problème, que prend toutes les valeurs entre 0 et 2. |