OMB - OMB 2006 Finale MAXI Question 4 - Solution de Cédric De Groote

OMB 2006 Finale MAXI Question 4 - Solution de Cédric De Groote

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Question :

Les réels positifs $x$ , $y$ sont tels que $y=2-x$ .

(a) Quelle est la valeur maximale de $x^2y^2(x^2+y^2)$ ?

(b) Pour quelles valeurs de $(x,y)$ ce maximum est-il atteint ?

(c) Quel est l'ensemble des valeurs de $x^2y^2(x^2+y^2)$ ?

Solution de Cédric De Groote :

Nous pouvons commencer par poser que $x=r\sin(a)$ et que $y=r\cos(a)$ , avec r>0 et $a\in [0;\frac{\pi}{2}]$ , puisque x et y sont positifs.
Le problème revient alors à trouver le maximum de
$x^2y^2(x^2+y^2)$
$= r^2sin^2(a) r^2cos^2(a) [r^2sin^2(a)+r^2cos^2(a)]$
$= r^6[\sin(a)\cos(a)]^2[sin^2(a)+cos^2(a)]$
$= r^6\frac{1}{4}[2sin(a)cos(a)]^2$
$=\frac{r^6}{4}sin^2(2a)$

a) $sin(2a)$ variant de -1 à 1, $sin^2(2a)$ varie de 0 à 1 . L'expression $\frac{r^6}{4}sin^2(2a)$ trouve donc son maximum lorsque
$sin^2(2a) =1$
$\Leftrightarrow sin(2a)= \pm 1$
$\Leftrightarrow 2a= \frac{\pi}{2}+k\pi$ où $k\in\mathbb{N}$
$\Leftrightarrow a = \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$
Or, au vu des conditions posées au début, $a\in [0;\frac{\pi}{2}]$ , et donc on peut dire que $a=\frac{\pi}{4}$ .
Il reste à trouver r afin de pouvoir trouver le maximum, dont on peut déjà dire qu'il sera égal à $\frac{r^6}{4}$ .
Il faut que
$y=2-x$
$\Leftrightarrow r cos(\frac{\pi}{4})= 2 - r sin(\frac{\pi}{4})$
$\Leftrightarrow r [cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{4})]=2$
$\Leftrightarrow sqrt2r=2$
$\Leftrightarrow r = sqrt2$
Le maximum est donc $\frac{r^6}{4}=\frac{(sqrt2)^6}{4}=2$

b)Nous avons donc que $x=sqrt2 sin(\frac{\pi}{4})=1$ et $y=sqrt2 cos(\frac{\pi}{4})=1$ . Le couple {1;1} donne donc le maximum.

c) L'expression trouve son minimum lorsque $sin^2(2a)$ trouve son minimum, c'est-à-dire lorsque $sin^2(2a)=0$ . Puisque la fonction $sin^2(2a)$ est continue, et puisque nous avons montré que son minimum est 0 et que son maximum est 2, nous pouvons dire par le théorème des valeurs intermédiaires, et au vu des conditions du problème, que $x^2y^2[x^2+y^2]$ prend toutes les valeurs entre 0 et 2.

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