OMB - OMB 2009 Finale MIDI Question 1

OMB 2009 Finale MIDI Question 1

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Soit $n$ un nombre naturel. Notons $P_n$ la propriété « $n^2-1$ est multiple de $12$ ».

(a) Montrer que $P_n$ est vraie si $n$ est un nombre premier autre que $2$ ou $3$ .

(b) Donner un exemple de nombre composé $n$ pour lequel $P_n$ est vraie et un autre pour lequel $P_n$ est fausse.

(c) Si $n$ est composé, à quelle condition sur $n$ la propriété $P_n$ est-elle vraie ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 27/5/2009 20:26 Mis à jour : 27/5/2009
putin!!! j y comprend rien moi vs avez po la solutoion les gars???

Anonyme	Posté le : 17/3/2010 17:05 Mis à jour : 17/3/2010
(b) puisque le a est juste, n'importe quel nombre premier donne le résultat escompté. ex: 17*17=289 289-1= 288 288:12=24 (c) ben, que n soit un nombre premier... le (a), je vois pas bien, comme ça ...

Victor Lecomte	Posté le : 21/3/2011 19:53 Mis à jour : 21/3/2011
(a) On part du fait que $n^2-1 = (n-1)(n+1)$ . On sait que $n$ n'est multiple ni de $2$ ni de $3$ , puisqu'il est premier et différent de ces deux nombres. - Puisque $n$ est impair, $n-1$ et $n+1$ seront tous deux pairs, donc leur produit multiple de $4$ . - Puisque $n$ n'est pas multiple de $3$ , un nombre parmi $n-1$ et $n+1$ le sera, donc leur produit sera multiple de $3$ . $n^2-1$ étant multiple de $3$ et de $4$ , on en conclut qu'il est multiple de $12$ . (b) $P_n$ est fausse pour $4$ et vraie pour $25$ . En effet, $4^2-1 = 15$ n'est pas multiple de $12$ , tandis que $25^2-1 = 624$ l'est. (c) Il faut et il suffit que $n$ ne soit multiple ni de $2$ ni de $3$ . - Cela suffit pour les mêmes raisons qu'en (a). - C'est nécessaire car : -> S'il était multiple de $2$ , $n-1$ et $n+1$ seraient impairs, ce qui impliquerait que $n^2-1$ soit impair. -> S'il était multiple de $3$ , ni $n-1$ ni $n+1$ ne seraient multiples de $3$ , donc $n^2-1$ non plus.

Anonyme	Posté le : 20/4/2011 10:39 Mis à jour : 20/4/2011
pourquoi la phrase"Puisque n'est pas multiple de , un nombre parmi et le sera"?

Anonyme	Posté le : 20/4/2011 10:40 Mis à jour : 20/4/2011
T

Nicolas Radu	Posté le : 20/4/2011 13:11 Mis à jour : 20/4/2011
Parce qu'il y a un multiple de 3 tous les trois nombres...

Anonyme	Posté le : 22/4/2011 9:55 Mis à jour : 22/4/2011
et comment on sait Pn est vrai si (n*n-1) est impair et ne est pas multiple de 3.

Anonyme	Posté le : 22/4/2011 9:55 Mis à jour : 22/4/2011
T

Anonyme	Posté le : 22/4/2017 14:29 Mis à jour : 22/4/2017
à noter que le nombre est également toujours divisible en 24