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OMB 2009 Finale MIDI Question 3
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Mathilde dispose de bougies identiques. Chaque dimanche, elle allume une ou plusieurs bougies durant une heure exactement : le premier dimanche, une bougie ; le second, deux bougies ; et ainsi de suite jusqu'au dimanche, où elle allume les bougies. Ce dimanche-là, à la fin de l'heure, les bougies sont entièrement consumées.

(a) Ceci est-il possible lorsque (si les durées de combustion des bougies conviennent) ?

(b) Ceci est-il possible lorsque (si les durées de combustion des bougies conviennent) ?

(c) Déterminer toutes les valeurs de pour lesquelles ceci est possible (si les durées de combustion des bougies conviennent). Expliquer comment procéder.



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 20/4/2011 13:46  Mis à jour : 20/4/2011
je me trompe ou n=0 ou n=1 ???
Anonyme
Posté le : 24/4/2011 14:56  Mis à jour : 24/4/2011
X est le temps d'allumer un bougie pendant une heure.
le premier jour on a utilisé 1/X du bougie,le deuxiem jour on a utilisé 2/x du bougie.........le dernier jour on a utilisé N/X du bougie.
1/X+2/X+3/X+.........N/X=N
=>(1+2+3+......N)/X=N
=>[(1+N)*N/2]/X=N
=>(1+N)*N/2=NX
=>(1+N)*N=2NX
n n'égale pas à 0
=>1+N=2X
(a)X doit plus grand ou égale à 1
9+1=2X
=>10=2X
=>X=5
X doit etre un nombre entier qui est plus grand ou égale à 1.
donc il est possible lorsque n=9
(b)10+1=2X
=>X=5,5
il est pas possible lorsque n=10
(c)il doit respecte la fraction :
N=2X-1 et X est un nombre entier
donc N est possible quand il est un nombre entier positif impair.


si je me tompe,dit moi svp.T
Anonyme
Posté le : 5/1/2013 18:10  Mis à jour : 5/1/2013
J'ai peut-être mal compris l'énoncé mais:
(a)
pour n=9, il faut un nombre k tel que
1+2+3+4+5+6+7+8+9=9k
1+2+3+4+5+6+7+8+9=(9+1).9/2=45
45=9k
k=45/9
k=5
La durée de combustion d'une bougie est donc de 5 heures. Donc il est possible lorsque n=9.

(b)
Pour n=10, il faut un nombre k tel que 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=10k
(10+1).10/2=55
55=10k
k=55/10
k=5,5
La durée de combustion d'une bougie est donc de 5h30m. Il est donc possible lorsque n=10.

(c)
Il faut un nombre k tel que 1+2+3+4...+n=nk
Donc
(n+1).n/2=nk
(n+1)/2 .n=nk
(n+1)/2=k
k=(n+1)/2
2k=n+1
2k-1=n
n peut prendre toutes les valeurs positives car k correspond à une durée de temps ( en heure) et doit donc être un nombre strictement positif ( et n correspond au nombre de bougies, il
doit donc être un nombre positif.)
Nicolas Radu
Posté le : 5/1/2013 22:33  Mis à jour : 5/1/2013
Mais tu dois avoir une durée de combustion qui soit un nombre entier d'heures, étant donné que tu allumes chaque bougie pendant un nombre entier d'heures... Donc ton k doit être entier et le n doit être impair. Si tu réfléchis avec n = 2, tu as deux bougies, tu en allumes une seule la première fois. Elle est donc forcément plus consumée que l'autre. Et ensuite tu allumes les deux bougies mais il n'est pas possible qu'elles s'éteignent en même temps à la fin de l'heure.
Notez que techniquement, après avoir prouvé que n doit être impair, il faudrait montrer qu'il existe une façon d'allumer les bougies qui convienne. Parce qu'on pourrait imaginer que quelle que soit la façon dont on allume les bougies, avant le dernier dimanche il reste n-2 bougies qui tiendront encore une heure, une bougie déjà entièrement consumée et une bougie tenant encore deux heures.
Ceci étant, pour y parvenir il suffit d'allumer la bougie 1 la première fois, puis les bougies 2 et 3, puis 4 5 6, etc en cyclant lorsqu'on arrive à n, et cela fonctionne forcément.
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