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OMB 2009 Finale MAXI Question 2
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Déterminer tous les triplets de nombres naturels tels que




(le membre de droite est un nombre décimal illimité périodique, de période 6).



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 13/8/2009 11:47  Mis à jour : 13/8/2009
solution hicham maroc:

le chiffre c=0.946053 appartient à Q donc il existe a et b telque a/b=0.946053 et a et b premier entre eux.
0.946=<c=<0.9461 b=7*11*13=1001 ce qui donne
946.9=<a=<947.046 a est un entier donc a=947.

ainsi l'équation devient:

143x+91y+77z=947 (1)

remarquons que 3x+y+7z=7mod(10) (2)
et que x=<(947-91-77)/143 donc x=<5
de même pour les autres y=<7
et z=<9


on cherche une solution avec x et y et z sont différents de 0.
1=<x=<5 1=<y=<7 1=<z=<9 10=<3x+y+7z=<75 ainsi

17=<3x+y+7z=<67 implique 3x+y+7z=17,27,37,47,57,67

on vérifie les combinaisons qui donnent de x,y,z qui donne 17 ne sont pas des solutions pour 27 la combinaison (x=3,y=4,z=2)donne la solution de l'équation (1).

la solution donc est: x=3,y=4,z=2.
je trouve que ma solution n'est pas élégante
Nicolas Radu
Posté le : 19/8/2009 14:41  Mis à jour : 19/8/2009
Le fait que 0,946 053 946 053... s'écrive a/b avec b=7*11*13=1001 n'est qu'une coïncidence...
Ton raisonnement aurait donné 0,946 001 946 001... ainsi que 0,946 099 946 099... aussi égaux à 947/1001 !
Pour montrer que le membre de gauche (que nous posons c) vaut 947/1001, il est plus correct de dire que :
1 000 000 c = 946 053, 946 053 946 053...
c = 0, 946 053 946 053
En soustrayant les deux égalités :
999 999 c = 946 053
Et en divisant les deux membres par 999 :
1001 c = 947

Pour ce qui est de la suite, il est en effet intéressant d'utiliser les modulos pour réduire les recherches mais il n'y a pas selon moi de solution en une ligne. Enfin, peut-être en partant de la solution 3, 4, 2 et en montrant qu'elle est unique, je ne sais pas.
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