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OMB 2009 Finale MAXI Question 3 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2009 Finale MAXI Question 3
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Prouver qu'il n'existe pas de fonction telle que pour tous réels et ,





Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 19/8/2009 10:06  Mis à jour : 19/8/2009
proposition de solution hicham (maroc):

pour y=0 la formule devient:f(x^3)=f(x+f(0))
ce qui donne : f((x-f(0))^3)=f(x) (1)

pour x=0 la formule devient: f(f(y^3))= y+f(0) (2)

de (2) on déduit que f(f(x-f(0)^3)=f(f(x))=x-f(0)+f(0)=x d'ou fof(x)=x f(f(x^3))=x^3
f(f(x^3))= x+f(0) selon (2)
donc f(0)=x^3-x pour tout x appartient à R
aucune focntion ne peut remplir cette équation.

d'ou il n y a pas de fonction qui remplit l'équation de l'énoncé.
Anonyme
Posté le : 24/4/2017 14:30  Mis à jour : 24/4/2017
Résolution:

f(f(x+ f(y^3)))=f(y+ f(x^3))=x+ f(y^3)

donc comme la fonction est définie de R->R, on peut écrire

f(f(x))=x

Dès lors lorsque x et y valent 0, on a

f(f(0)=f(0) donc f(0)=0

Ensuite, si x=0,

f(f(y^3))= y+f(o)= y donc on a y^3 = y ce qui, bien entendu, n'est pas vrai pour tous les réels y.

Est-ce correct?
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