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Voici un plan d'attaque.
1. Montrer TNMP est inscriptible; ca prend trois lignes.
2. Supposons que MN est tangente aux deux cercles. Alors les triangles PMN, MRN et NMS sont semblables. Donc les angles TMN et TNM sont egaux: le triangle TNM est isocele en T. De plus l'angle MTN est supplementaire de MPN (par 1), lequel est egal a l'angle MNS, qui est lui-meme supplementaire de TNM. Donc TNM et MTN sont aussi des angles egaux.
3. (Pour la reciproque) Montrer que si les triangles PMN et NMS sont semblables, alors MN est tangente a C2 en N. Ca prend aussi trois lignes. De la meme maniere, si les triangles PMN et MRN sont semblables, MN est tangente a C1 en M.
4. Supposons que le triangle TMN soit equilateral. Alors l'angle MNS vaut 120 degres et l'angle MPN aussi. Donc les triangles PMN et NMS sont semblables. De la meme maniere, on montre que les triangles PMN et MRN sont semblables. C'est fini.
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