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OMB 2009 Finale MAXI Question 4 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2009 Finale MAXI Question 4
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Deux cercles et se coupent en deux points distincts et . Soit sur et sur tels que , et soient alignés. Les droites et recoupent et respectivement en et . Soit l'intersection de et .

Montrer que le triangle est équilatéral si et seulement si est tangente aux deux cercles.



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 10/1/2010 20:40  Mis à jour : 10/1/2010
Alors la...
Anonyme
Posté le : 3/3/2010 13:16  Mis à jour : 3/3/2010
22.5
Anonyme
Posté le : 25/4/2011 13:21  Mis à jour : 25/4/2011
Quelqu'un qui a la solution?
Anonyme
Posté le : 25/7/2018 15:03  Mis à jour : 25/7/2018
Voici un plan d'attaque.
1. Montrer TNMP est inscriptible; ca prend trois lignes.
2. Supposons que MN est tangente aux deux cercles. Alors les triangles PMN, MRN et NMS sont semblables. Donc les angles TMN et TNM sont egaux: le triangle TNM est isocele en T. De plus l'angle MTN est supplementaire de MPN (par 1), lequel est egal a l'angle MNS, qui est lui-meme supplementaire de TNM. Donc TNM et MTN sont aussi des angles egaux.
3. (Pour la reciproque) Montrer que si les triangles PMN et NMS sont semblables, alors MN est tangente a C2 en N. Ca prend aussi trois lignes. De la meme maniere, si les triangles PMN et MRN sont semblables, MN est tangente a C1 en M.
4. Supposons que le triangle TMN soit equilateral. Alors l'angle MNS vaut 120 degres et l'angle MPN aussi. Donc les triangles PMN et NMS sont semblables. De la meme maniere, on montre que les triangles PMN et MRN sont semblables. C'est fini.
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