OMB - OMB 2005 Finale MAXI Question 3 - Solution de Nicolas Radu

OMB 2005 Finale MAXI Question 3 - Solution de Nicolas Radu

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Question :

Dans le triangle $ABC$ , les droites $AE$ et $CD$ sont les bissectrices intérieures des angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACB}$ respectivement ; $E$ appartient à $BC$ et $D$ appartient à $AB$ .

Pour quelles amplitudes de l'angle $\widehat{ABC}$ a-t-on certainement

(a) $|AD|+|EC|=|AC|$ ?

(b) $|AD|+|EC|>|AC|$ ?

(c) $|AD|+|EC|<|AC|$ ?

Solution de Nicolas Radu :

Soit $O$ l'intersection de $AE$ et $CD$ . Et soient $F$ et $G$ sur $[AC]$ tels que $|AF|=|AD|$ et $|CE|=|CG|$ . À ce stade, on a les cas :

(a) $|AD|+|EC|=|AC|$ si $F=G$ , c'est à dire si $|\widehat{AOF}|+|\widehat{COG}|=|\widehat{AOC}|$
(b) $|AD|+|EC|>|AC|$ si $|AF|+|CG|>|AC|$ , c'est à dire si $|\widehat{AOF}|+|\widehat{COG}|>|\widehat{AOC}|$
(c) $|AD|+|EC|<|AC|$ si $|AF|+|CG|<|AC|$ , c'est à dire si $|\widehat{AOF}|+|\widehat{COG}|<|\widehat{AOC}|$

Or, les triangles $CEO$ et $CGO$ sont isométriques, ainsi que $ADO$ et $AFO$ , donc

$|\widehat{COG}|=|\widehat{COE}|=180-|\widehat{AOC}|$

$|\widehat{AOF}|=|\widehat{AOD}|=180-|\widehat{AOC}|$

On a donc les différents cas :

(a) si $180-|\widehat{AOC}|+180-|\widehat{AOC}|=|\widehat{AOC}|$ , c'est à dire si $|\widehat{AOC}|=120$
(b) si $180-|\widehat{AOC}|+180-|\widehat{AOC}|>|\widehat{AOC}|$ , c'est à dire si $|\widehat{AOC}|<120$
(c) si $180-|\widehat{AOC}|+180-|\widehat{AOC}|<|\widehat{AOC}|$ , c'est à dire si $|\widehat{AOC}|>120$

Il ne reste alors plus qu'à constater que

$|\widehat{AOC}|$
$=180-|\widehat{OAC}|-|\widehat{OCA}|$
$=180-\frac{|\widehat{BAC}|}{2}-\frac{|\widehat{BCA}|}{2}$
$=180-\frac{180-|\widehat{ABC}|}{2}$
$=90+\frac{|\widehat{ABC}|}{2}$

C'est pourquoi on a les différents cas

(a) si $90+\frac{|\widehat{ABC}|}{2}=120$ , c'est à dire si $|\widehat{ABC}|=60$
(b) si $90+\frac{|\widehat{ABC}|}{2}<120$ , c'est à dire si $|\widehat{ABC}|<60$
(c) si $90+\frac{|\widehat{ABC}|}{2}>120$ , c'est à dire si $|\widehat{ABC}|>60$

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