(a) ffg: 5 x 2 x 2 = 20 20 - 3 = 17
(b) fffggggggffg: 5 - 10 - 20 - 40 - 37 - 34 - 31 - 28 - 25 - 22 - 44 - 88 - 85
(c) pas de telle suite
(d) les multiples de 17

Pourquoi les multiples de 17???

Tout d'abord, il y a les multiples de 5 avec un facteur qui est une puissance de 2 ainsi que les puissances de 2 elles-mêmes.

Si on fait quelques tests :

Différents appuis sur f :
5-10-20-40-80

Différents appuis sur g à partir des nombres obtenus précédemment :
10-7-4-1
20-17-14-11-8-5
40-37-34-31-28-25-22-19-16-13-10
80-77-74-71-68-65-62-59-56-53-50-47-44-41-38-35-32-29-26-23-20

On voit que lorsque l'on appuie un nombre pair de fois sur f, puis qu'on appuie sur g autant de fois que nécessaire, on retombe sur le nombre de départ.
On voit que lorsque l'on appuie un nombre impair de fois sur f, puis qu'on appuie sur g autant de fois que nécessaire, on forme une autre suite.

De ces considérations, on peut voir qu'il n'y a que deux suites de nombres possibles :

_ Les nombres de la forme (3k+1), k entier.
_ Les nombres de la forme (3k-1), k entier.

36 n'est pas possible à atteindre car il fait partie de la suite de nombres de la forme (3k).

c vrai bien jouer pour les multiples de 17 BRAVO
J4ESP7RE ETRE QUALIFI2S POUR CETTE ANNéES

j'ai plus simple pour le c:ffgggffg
5*2*2=20
20-3-3-3=11
11*2*2*2=88
88-3=85

b)fffffggggggggggggggggggggggggg
5f et 25g

d) c'est tous les non multiples de 3.

on peut écrire sous forme de fonctions:
f(x)=2x et g(x)=x-3
donc on peut composer les fonctions et peut importe l'ordre ce qui compte c'est leur nombre:
f.f.f....f (n fois).g.g.g....g (k fois)
alors le nombre N= 2^n.5-3.k
Si on combine de nouveau avec g ou f cela revient a multiplier le résultat per 2^p cela revient a savoir si le nombre divisé par 2^p est possible
Donc au final N=2^n.5-3.k ne peut pas définir tous les nombres entiers: on peut démontrer par l'absurde ou un contre exemple.
Si on regarde le debut:
On peut combiner tous les multiples de 5 et 2
10 20 40 80 160
-3 -6 -9 -12 -15 -18 -21 -24 -27 -30 -33 -36 -39 -42
=
1 2 (3) 4 5 (6) 7 8 (9) 10 11 (12) 13 14 (15) 16 17 19 22 (21) 25 28 31 34 37
On voit que tous les multiples de 3 ne sont pas possible.

a = 2f + 1g

Pour les 3 premiers nous pouvons vérifier avec : 2^f *5 - 3g, ou f est le nombre de fois que l'on appuie sur f et g le nombre de fois que l'on appuie sur g.

a) ffg car 2^2 *5 - 3 = 20 - 3 = 17
b) 5f25g car 2^5 *5 - 75 = 160 - 75 = 85
c) pas de telle suite. -> Si nous appliquons la vérification, nous trouvons que f et g ne sont pas naturels, or nous ne pourvons pas appuyer -1 fois ou encore 1,3 fois sur une touche.

d) Ce sont les nombres dans 3k+1 ou 3k-1.