OMB - OMB 2010 Finale MINI Question 2

OMB 2010 Finale MINI Question 2

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Une calculatrice étrange possède deux touches inhabituelles : la touche $\fbox{f}$ et la touche $\fbox{g}$ . Lorsqu’on presse la touche $\fbox{f}$ , le nombre aﬃché est doublé. Lorsqu’on presse la touche $\fbox{g}$ , le nombre affiché est diminué de trois.

(a) Si l’affichage initial est 5, indiquer une suite de pressions de ces deux touches spéciales qui provoque l’affichage de 17 ou montrer qu’il n’existe pas de telle suite.

(b) Si l’affichage initial est 5, indiquer une suite de pressions de ces deux touches spéciales qui provoque l’affichage de 85 ou montrer qu’il n’existe pas de telle suite.

(c) Si l’affichage initial est 5, indiquer une suite de pressions de ces deux touches spéciales qui provoque l’affichage de 36 ou montrer qu’il n’existe pas de telle suite.

(d) Quels sont tous les nombres naturels qui peuvent être affichés, en partant de 5, par une telle suite de pressions, et pourquoi ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 2/5/2010 16:22 Mis à jour : 2/5/2010
(a) ffg: 5 x 2 x 2 = 20 20 - 3 = 17 (b) fffggggggffg: 5 - 10 - 20 - 40 - 37 - 34 - 31 - 28 - 25 - 22 - 44 - 88 - 85 (c) pas de telle suite (d) les multiples de 17

Anonyme	Posté le : 2/5/2010 19:07 Mis à jour : 2/5/2010
Pourquoi les multiples de 17???

Anonyme	Posté le : 3/5/2010 12:43 Mis à jour : 3/5/2010
Tout d'abord, il y a les multiples de 5 avec un facteur qui est une puissance de 2 ainsi que les puissances de 2 elles-mêmes. Si on fait quelques tests : Différents appuis sur f : 5-10-20-40-80 Différents appuis sur g à partir des nombres obtenus précédemment : 10-7-4-1 20-17-14-11-8-5 40-37-34-31-28-25-22-19-16-13-10 80-77-74-71-68-65-62-59-56-53-50-47-44-41-38-35-32-29-26-23-20 On voit que lorsque l'on appuie un nombre pair de fois sur f, puis qu'on appuie sur g autant de fois que nécessaire, on retombe sur le nombre de départ. On voit que lorsque l'on appuie un nombre impair de fois sur f, puis qu'on appuie sur g autant de fois que nécessaire, on forme une autre suite. De ces considérations, on peut voir qu'il n'y a que deux suites de nombres possibles : _ Les nombres de la forme (3k+1), k entier. _ Les nombres de la forme (3k-1), k entier. 36 n'est pas possible à atteindre car il fait partie de la suite de nombres de la forme (3k).

Anonyme	Posté le : 16/3/2011 17:26 Mis à jour : 16/3/2011
c vrai bien jouer pour les multiples de 17 BRAVO J4ESP7RE ETRE QUALIFI2S POUR CETTE ANNéES

Anonyme	Posté le : 22/3/2013 18:35 Mis à jour : 22/3/2013
j'ai plus simple pour le c:ffgggffg 522=20 20-3-3-3=11 1122*2=88 88-3=85

Anonyme	Posté le : 1/4/2016 14:58 Mis à jour : 1/4/2016
b)fffffggggggggggggggggggggggggg 5f et 25g

Anonyme	Posté le : 26/3/2019 11:43 Mis à jour : 26/3/2019
d) c'est tous les non multiples de 3.

Anonyme	Posté le : 4/3/2022 11:32 Mis à jour : 4/3/2022
on peut écrire sous forme de fonctions: f(x)=2x et g(x)=x-3 donc on peut composer les fonctions et peut importe l'ordre ce qui compte c'est leur nombre: f.f.f....f (n fois).g.g.g....g (k fois) alors le nombre N= 2^n.5-3.k Si on combine de nouveau avec g ou f cela revient a multiplier le résultat per 2^p cela revient a savoir si le nombre divisé par 2^p est possible Donc au final N=2^n.5-3.k ne peut pas définir tous les nombres entiers: on peut démontrer par l'absurde ou un contre exemple. Si on regarde le debut: On peut combiner tous les multiples de 5 et 2 10 20 40 80 160 -3 -6 -9 -12 -15 -18 -21 -24 -27 -30 -33 -36 -39 -42 = 1 2 (3) 4 5 (6) 7 8 (9) 10 11 (12) 13 14 (15) 16 17 19 22 (21) 25 28 31 34 37 On voit que tous les multiples de 3 ne sont pas possible.