OMB - OMB 2010 Finale MINI Question 3

OMB 2010 Finale MINI Question 3

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Soit $ABC$ un triangle d’aire 1.

a) Sur la demi-droite $[AB$ , soit $B^\prime$ tel que $|AB^\prime| = 2|AB|$ . Sur la demi-droite $[BC$ , soit $C^\prime$ tel que $|BC^\prime| = 3|BC|$ . Sur la demi-droite $[CA$ , soit $A^\prime$ tel que $|CA^\prime| = 5|CA|$ . Quelle est l’aire du triangle $A^\prime B^\prime C^\prime$ ?

b) Soit $m$ , $n$ et $p$ trois nombres naturels supérieurs à 2. Sur la demi-droite $[AB$ , soit $B^{\prime\prime}$ tel que $|AB^{\prime\prime}| = m|AB|$ . Sur la demi-droite $[BC$ , soit $C^{\prime\prime}$ tel que $|BC^{\prime\prime}| = n|BC|$ . Sur la demi-droite $[CA$ , soit $A^{\prime\prime}$ tel que $|CA^{\prime\prime}| = p|CA|$ . Quelle est l’aire du triangle $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 4/9/2010 22:46 Mis à jour : 4/9/2010
Au secours, je pensais aux triangles semblables mais ca coince, quelqu'un n'aurait pas une idée svp ?

Francois Staelens	Posté le : 5/9/2010 11:21 Mis à jour : 5/9/2010
Rappelle-toi ce qui se passe quand dans un triangle d'aire S je multiplie une de ses bases par k (sans toucher à la hauteur relative à cette base). La solution te paraitra évidente.

Anonyme	Posté le : 5/9/2010 22:00 Mis à jour : 5/9/2010
(a) Il s'agit donc de 235 ? (b) Il s'agit de mnp ?

Anonyme	Posté le : 24/10/2010 19:57 Mis à jour : 24/10/2010
La première solution est 1/22

Anonyme	Posté le : 12/7/2011 16:35 Mis à jour : 12/7/2011
l'aire du triangle A'B'C' vaut 21 j'en suis sure

Nicolas Radu	Posté le : 13/7/2011 10:26 Mis à jour : 13/7/2011
Je pense que tu as oublié l'aire du triangle $ABC$ , donc la réponse est plutôt 22 selon moi. Et pour le cas général, je tombe sur $mnp-(m-1)(n-1)(p-1)$ . Il faut tracer $B''C$ , $C''A$ et $A''B$ , trouver les aires des 7 triangles qui composent $A''B''C''$ avec la méthode de François, puis les additionner. Ca donne alors $mn+np+mp-m-n-p+1$ en développant. Je l'ai juste réécrit autrement pour que ca soit plus joli.

Anonyme	Posté le : 30/4/2015 9:52 Mis à jour : 30/4/2015
voila