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OMB 2010 Finale MIDI Question 3
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Soit et deux nombres naturels tels que l’écriture décimale de s’obtient en permutant les chiffres de l’écriture décimale de .

(a) La somme des chiffres de est-elle la même que celle de ?

(b) La somme des chiffres de est-elle la même que celle de ?

(c) La somme des chiffres de est-elle la même que celle de ?

(d) Si et sont pairs, la somme des chiffres de est-elle la même que celle de ?



Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 4/5/2010 13:08  Mis à jour : 4/5/2010
Réponse évidente :

Soit l'écriture décimale de m : abcde...ij

Une permutation des chiffres de m donne le nombre n : ji...edcba

Il est évident que la somme des chiffres, dans un sens ou dans l'autre, est la même.
Donc, cette somme multipliée par le même coefficient des deux côtés de l'égalité donne bien le même résultat.

Et il en est de même si le premier et le dernier chiffre est pair (condition nécessaire et suffisante pour que n et m soient pairs).

En fait, la seule difficulté que je vois dans cet énoncé est qu'il fallait penser au premier et au dernier chiffre pour la dernière question.
Loïc Burger
Posté le : 4/5/2010 16:11  Mis à jour : 4/5/2010
Je ne sais pas si j'ai bien compris ton raisonnement, mais apparement, ce que tu affirmes, c'est que si tu as une somme des chiffres pour deux naturels et , alors la somme des chiffres de et est identique. C'est pas toujours vrai, en prenant 43 et 16, par exemple et que tu multiplies ça par 2, pour obtenir respectivement 86 et 32, l'égalité n'est pas conservée.

D'ailleurs, pour le le petit b, tu as un contre-exemple : 38 et 83. 38.3 = 114, la somme des chiffres vaut 6, tandis que 83.3 = 249, dont la somme des chiffres vaut 15... Donc ton exemple sur le coefficient ne tient pas la route pour au moins une valeur et ne peut pas être utilisé à coup sûr.

C'est pas si évident que ça, je pense.
Francois Staelens
Posté le : 4/5/2010 21:21  Mis à jour : 4/5/2010
Je confirme, c'était de mon avis la question midi la plus difficile cette année. Je me trompe ou seul le (b) est faux?
Anonyme
Posté le : 5/5/2010 10:14  Mis à jour : 5/5/2010
Ce que vous avez un peu oublié tous les deux, c'est que les nombres n et m sont obtenus par des permutations des mêmes chiffres.

Les exemples que vous m'avez donnés pourraient invalider mon raisonnement s'ils n'allaient pas à l'encontre de l'énoncé...
Anonyme
Posté le : 5/5/2010 10:17  Mis à jour : 5/5/2010
D'accord, j'ai compris la faille de mon raisonnement.
Je vais réfléchir là-dessus...
Sophie Casavecchia
Posté le : 5/5/2010 16:54  Mis à jour : 5/5/2010
Effectivement François, j'ai aussi jugé que c'était le problème le plus difficile... J'ai l'impression d'avoir raconté n'importe quoi... =.="
Francois Staelens
Posté le : 5/5/2010 18:56  Mis à jour : 5/5/2010
Soit m= XnXn-1…X1 avec X1 le chiffre des unités, X2le chiffre des dizaines, …

On a que 2Xi ≡ Ri (mod10) avec Ri appartient à {0, 2, 4, 6, 8} et (2Xi-Ri)/10=0 ou=1

On a donc que la somme des chiffres de 2m vaut :

Somme[(2Xi-Ri)/10] + Somme(Ri) car (2Xk-Rk)/10+Rl<10 pour tout k et pour tout l


La formule ne dépendant pas de l’ordre des Xi, (a) est démontré.

Dans le cas de (b), on refait la même chose :
3Xi ≡ Ri (mod10) avec Ri appartient à {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et (3Xi-Ri)/10=0 ou=1 ou=2 ou =3

On n’est donc plus autoriser à écrire une formule telle qu’en (a) car
(3Xk-Rk)/10+Rl peut valoir plus que 10

De plus, on trouve facilement des contre-exemples : m=39 et n=93 font l’affaire.

(c) se démontre de la même façon que (a) car (5Xk-Rk)/10+Rl<10 pour tout k et pour tout l.
(d) une division par 2 n’est qu’une multiplication par 5 suivie d’une division par 10. Or, on a par (c) que la multiplication par 5 ne posait pas de problème et la division par 10 par la suite encore moins : on retire un zéro.

Je sais que ma démonstration n’est pas super complète, mais je n’ai pas envie d’entrer dans les détails avec ce matériel pour l’écrire. Peut-être que la formule nécessite plus d’explication, à vous de juger, ou de casser ma démonstration XD !
Anonyme
Posté le : 8/5/2010 11:45  Mis à jour : 8/5/2010
Je trouve, pour ma part, que ta démonstration est très aboutie.

Bravo
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