Réponse pour la (a) :

Parmi tous les naturels multiples de 6, ceux qui ont exactement 6 diviseurs naturels ont leur liste de diviseurs de la forme :

{1,2,3,6,x,y}

y étant égal au nombre en lui-même, on constate que le produit du premier avec le dernier est la même que le produit de l'avant dernier par le deuxième,...

une solution évidente est donc 3*6 = 18.

Maintenant, il est aussi possible que l'avant dernier nombre dans la liste précédente ne soit pas à cette place.

Si on prend par exemple :

{1,2,3,x,6,y}, il y a une autre solution évidente : 2*6 = 12.

Comme 1,2 et 3 sont les trois premiers naturels, il n'y a pas de solution ou x se trouverait entre ces valeurs.

Les deux solutions trouvées donc sont bien les seules.

b) 2010 = 2*3*5*67. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout nombre N divisible par 2010 peut se représenter comme N = 2^(1+r_1) * 3^(1+r_2) * 5^(1+r_3) * 67^(1+r_4) * p_1^(a_1) * ... * p_r^(a_r), avec r_i>=0, a_j>0 et p_j premier différent de 2,3,5,67. C'est pas facile à écrire sans pouvoir utiliser de caractères exposants et indices. Le nombre de diviseurs de N est (2+r_1)*(2+r_2)*(2+r_3)*(2+r_4)*(1+a_1)*...*(1+a_r), qui doit être égal à 2010. Vu que 2010 n'a que 4 facteurs premiers, r=0. On déduit que (r_1,r_2,r_3,r_4) est une permutation de (2-2,3-2,5-2,67-2). Comme il y a 4!=24 telles permutations, il y a 24 nombres qui ont la propriété désirée.

C'est beau