a)
les angles: A=2B , B=B , C = 180-A-B = 180-3B
Loi des sinus:
|BC|/sin(A) = |AC|/sin(B) = |AB|/sin(C)
<=> |BC|/sin(2B) = |AC|/sin(B) = |AB|/sin(180-3B) = |AB|/sin(3B) car sin(180-x)=sin(x)

on cherche |AC|
|BC|sin(B) = |AC|sin(2B) = |AC|2sin(B)cos(B) car sin(2x)=2cos(x)sin(x)(1)
<=> |AC|=|BC|/2cos(B)

on cherche |AB|
|BC|sin(3B) = |AB|sin(2B)
<=> |BC|sin(2B+B)= |AB|2sin(B)cos(B)
<=> |BC|(sin(2B)cos(B)+sin(B)cos(2B))= |AB|2sin(B)cos(B) car sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)
<=> |BC|(2cos²(B)sin(B)+sin(B)(cos²(B)-sin²(B)) = |AB|2sin(B)cos(B) car (1) et cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
<=> |BC|(2cos²(B)+(cos²(B)-sin²(B)) = |AB|2cos(B)
<=> |AB|= |BC|(3cos²(B)-sin²(B))/2cos(B)

on remplace dans l'équation à démontrer:
|BC|² = |AC|²+|AC|*|AB|
<=> |BC|² = |BC|²/(4cos²(B)) + |BC|(3cos²(B)-sin²(B))/(2cos(B))
<=> |BC|² = |BC|² (1+3cos²(B)-sin²(B))/(4cos²(B))
<=> 1 = (3cos²(B)+cos²(B))/(4cos²(B)) car sin²(x)+cos²(x)=1
<=> 1 = 1 cqfd
b)
la première démonstration utilise que des flèches bidirectionnelles donc je pense que la réciproque est démontrée.

Je pense que ta réponse pour le point a est correcte mais pas pour la réciproque. En effet, à la ligne

|BC|² = |AC|²+|AC|*|AB|
<=> |BC|² = |BC|²/(4cos²(B)) + |BC|²(3cos²(B)-sin²(B))/(2cos(B))

tu fais, en quelque sorte, l'implication suivante :

|AC|² + |AC|*|AB| = |BC|²/(4cos²(B)) + |BC|²(3cos²(B)-sin²(B))/(2cos(B))

implique que

|AC|² = |BC|²/(4cos²(B)) et |AC|*|AB| = |BC|²(3cos²(B)-sin²(B))/(2cos(B))

ce que tu ne peux faire directement.

C'est comme si à la question "Montrer que si a = 1 et b = 4, a + b = 5. La réciproque est-elle vraie?", tu répondais :

"5 = a + b
<=> 5 = 1 + 4
<=> 5 = 5

La réciproque est vraie car on a utilisé uniquement des équivalences."

Pourtant, tu seras d'accord avec moi pour dire que 5 = a + b n'implique pas a = 1 et b = 4.

Ceci dit, je ne dis pas que la réciproque est fausse. Mais il faut à mon avis faire plus de recherches pour la démontrer correctement.

j'avoue que j'ai un peu bâcler la réciproque
mais je l'ai quand même trouvé.

au départ on a : |BC|² = |AC|² + |AC|*|AB|
on sait grâce à la formule de Pythagore généralisé : |BC|² = |AC|² + |AB|² -2|AC||AB|cos(2B) (A = 2B)
Donc
|AC|² +|AC|*|AB| = |AC|² + |AB|² -2|AC||AB|cos(2B)
<=> |AC| = |AB| -2|AC|cos(2B)
<=> |AC|(1+2cos(2B)) = |AB|
vu la démonstration du point a on sait que:
|AC| = |BC|/(2cos(B)) et |AB| = |BC|(3cos²(B)-sin²(B))/(2cos(B))
Donc
|BC|/(2cos(B)) * (1+2cos(2B)) = |BC|(3cos²(B)-sin²(B))/(2cos(B))
<=> 1+2cos(2B) = 3cos²(B)-sin²(B)
<=> sin²(B) + cos²(B) + 2(cos²(B)-sin²(B)) = 3cos²(B)-sin²(B) car sin²(x) + cos²(x) = 1 et cos(2x) = cos²(x) -sin²(x)
<=> 3cos²(B)-sin²(B) = 3cos²(B)-sin²(B)
cqfd

Je ne suis toujours pas persuadé que tu aies montré la réciproque... Tu as utilisé l'égalité de départ, tu as utilisé ce qu'il fallait prouver (A double de B), et tu en as conclu que 1 = 1 si on veut :p.
Il faudrait plutôt partir de l'égalité uniquement et en arriver, en laissant des A (sans les remplacer par 2B), à justement A = 2B.

Pourquoi faire de la trigo alors qu'il est si joli en synthétique?XD

Posons K sur BC tel que AK soit la bissectrice de l'angle A. On a alors CAK=KAB=B=ACK/2
donc, les triangles ABC et KAC sont semblables.
=> BC/AC = AB/KA = AC/CK
<=>AB*AC = BC*KA et AC² = BC*CK
=> BC*(KA+CK) = AC²+AB*AC
Or KA = KB car KAB=B
=> BC*(KB+CK) = BC²=AC²+AB*AC

La réciproque est un peu moins évidente, mais elle marche aussi en synthétique (c'est encore plus joli). Je vous laisse vous amuser avec la trigo:p

pour ceux qui veulent exercer leur trigono voici la réciproque qui devrait etre bonne cette fois.
le debut reste le même:
au départ on a : |BC|² = |AC|² + |AC|*|AB|
on sait grâce à la formule de Pythagore généralisé : |BC|² = |AC|² + |AB|² -2|AC||AB|cos(2B)
Donc
|AC|² +|AC|*|AB| = |AC|² + |AB|² -2|AC||AB|cos(2B)
<=> |AC| = |AB| -2|AC|cos(2B)
<=> |AC|(1+2cos(2B)) = |AB|

avec la relation des sinus : |AB|/sin(C) = |BC|/sin(A) = |AC|/sin(B)
<=> |AC| = |AB|sin(B)/sin(C)

donc
|AB|sin(B)/sin(C)* (1 +2cos(A)) = |AB|
<=> sin(B)/sin(180-(A+B))* (1 +2cos(A)) = 1 car A+B+C = 180°
<=> sin(B)* (1 +2cos(A)) = sin(A+B) car sin(180-x)=sin(x)
<=> sin(B)* (1 +cos(A)) + sin(B)cos(A) = sin(A)cos(B)+sin(B)cos(A) car sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)
<=> sin(B)(2cos²(A/2)) = 2sin(A/2)cos(A/2)cos(B) car 1+cos(2x) = 2cos²(x) et sin(2x)=2sin(x)cos(x)
<=> sin(B)cos(A/2) = sin(A/2)cos(B)
<=> sin(B)cos(A/2) - sin(A/2)cos(B) = 0
<=> sin(B-A/2) = 0 car sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)
<=> B-A/2 = 0
<=> B = A/2
cqfd

@Nicolas,
je pense que la rèciproque est vrai par (a),
parce que quand on sait il y a seulement une manière pour les angles ( par 3 côtés)
et parce que la réciproque est vraie,
on sait que ces 3 angles répondre à la question.
Alors on n'a pas besoin de montrer (a).

Euh, je dois avouer ne pas avoir compris, saurais-tu être plus clair :p?

oh non,
(j'ai eu des problèmes avec l'ordinateur)
retyper un peu:
-il y a seulement 1 manière pour un triangle avec et alors seulement une configuration

- il y a seulement 1 manière pour un triangle abec et (on ne sait pas l'amplitude),
mais maintenant j'ai vu que ça n'est pas trivial:

et
comme function on sait et après travailler avec ça, c'est equivalent avec
Si on sait qu'il y seulement une manière,
donc les solutions sont égaux, alors c'est equivalent.
Alors une petite faute de conclure qu'il y a seulement une transformation avec sans prouver.
Mais maintenant, c'est correcte à une autre manière.

c'est diviser pas

Remarquez:
parce que quand on sait uniquement,
on sait que les angles sont unique et si partie B est equivalent avec partie A,
parce qu'on construit la même triangle avec partie A, si on ne doit pas faire de calculations à B.