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OMB 2010 Finale MAXI Question 3
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(a) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel l’expression est-elle le carré d’un nombre naturel ?

(b) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel existe-t-il au moins un naturel pour lequel l’expression est le carré d’un nombre naturel ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution de François Crucifix


 
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Anonyme
Posté le : 11/5/2010 9:27  Mis à jour : 11/5/2010
a) D'abord n^2+n+14 doit être au moins égal au plus petit carré supérieur à n^2, ce qui nous donne
n^2+n+14 <= (n+1)^2 = n^2+2n+1, ou n <= 13. On peut se contenter de vérifier pour n allant de 0 à 13 si
n^2+n+14 est un carré parfait ou pas, mais quelques considérations simples permettent d'éliminer quelques nombres. Les divisibles de 3 ne peuvent pas être solution, car n^2+n+14 == 2 (mod 3) qui ne peut pas être un carré. Les nombres congrus à 2 modulo 3 ne peuvent pas non plus être solution, vu qu'on aurait n^2+n+14 == 1 +2 + 2(mod 3) == 2(mod 3), qui ne peut être carré. Les congrus à 0(mod 4) ne peuvent pas non plus être solution, vu que n^2+n+14 == 0 + 0 + 2(mod 4) ne peut pas non plus être carrés. Ca nous laisse 1,7,13, dont on déduit aisément que seuls 1 et 13 sont solutions.

b) si k=0, il faut qu'à la fois n et n+1 soient carrés parfaits, ce qui n'est passible que si n=0. Si k>0, poser n=k-1 fonctionne.
Anonyme
Posté le : 8/6/2010 1:10  Mis à jour : 8/6/2010
(a) Remarquer que :
n²+n+14=k² <=> (2k-2n-1)(2k+2n+1)=55
Avec une disjonction de cas on obtient n=1 ou n=13

(b) Juste essayer : n²+n+k=(n+a)²
Et poser k=bn+c .
Pour qu'on soit sûr que notre expression est un carré alors on aura :

2a=b+1
a²=c
Maintenant poser : k=(2a-1)n+a²
avec a un entier
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