OMB - OMB 2010 Finale MAXI Question 3 - Solution de François Crucifix

OMB 2010 Finale MAXI Question 3 - Solution de François Crucifix

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Question :

(a) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel $n$ l’expression $n^2+n+14$ est-elle le carré d’un nombre naturel ?

(b) Pour quelle(s) valeur(s) du naturel $k$ existe-t-il au moins un naturel $n$ pour lequel l’expression $n^2+n+k$ est le carré d’un nombre naturel ?

Solution de François Crucifix :

(a) Pour $n\geq 7$ ,

$(n+1/2)^2<n^2+n+14<(n+3/2)^2.$
Ainsi, pour que $n^2+n+14$ soit le carré d'un naturel, il faut que $n^2+n+14=(n+1)^2$ ou que $n\leq 6$ . Le premier cas donne la solution $n=13$ , et le second $n=1$ .
(b) L'identité
$(k-1)^2+(k-1)+k=k^2$
montre qu'il existe une solution pour tout naturel $k$ .

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