OMB - OMB 2011 Finale MINI Question 2

OMB 2011 Finale MINI Question 2

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(a) Le nombre $999$ est multiplié par $198$ , puis tous les chiffres de ce produit sont additionnés. Quelle est leur somme ?

(b) Le nombre $9999$ est multiplié par $198$ , puis tous les chiffres de ce produit sont additionnés. Quelle est leur somme ?

(c) Le nombre

$\underbrace{99\ldots999}_{\hspace{-3mm}2011\text{~chiffres~}9\hspace{-3mm}}$

est multiplié par $198$ , puis tous les chiffres de ce produit sont additionnés. Quelle est leur somme ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 27/4/2011 21:48 Mis à jour : 27/4/2011
je crois: a.) 27 b.) 36 c.) 18 099 quand on calcule les deux premiers,on remarque que cela donne le produit de 9 par le nombre de 9 compasant le nombre (2011x9= 18099)

Anonyme	Posté le : 17/11/2011 20:47 Mis à jour : 17/11/2011
t'as raisons moi aussi j'ai le même résultat

Francois Staelens	Posté le : 30/12/2011 21:04 Mis à jour : 30/12/2011
En fait, si on considère que le nombre en question est $9999...999$ où le chiffre $9$ est écrit $n$ fois, et qu'on le multiplie par $198$ , on recherche la somme des chiffres du nombre suivant: $198\cdot{9999...9999}=198(\sum_{i=0}^{n}{9\cdot{10^{i}}})=2[100(\sum_{i=0}^{n}{9\cdot{10^{i}}})-(\sum_{i=0}^{n}{9\cdot{10^{i}}})]=2[\sum_{i=0}^{n}{9\cdot{10^{i+2}}}-\sum_{i=0}^{n}{9\cdot{10^{i}}}]=2\cdot{9899...99901}=19799...99802$ Ce dernier nombre comprenant $n+3$ chiffres, on en déduit que la somme recherchée est: $1+9+7+(n-3)\cdot{9}+8+2=9n$