Il existe 1 seul cercle tangent à C1, C2 et C3. C'est le cercle circonscrit aux 3 cercles de rayon r.

Son rayon est donné par l'addition du rayon r d'un cercle inscrit et de 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral formé en reliant les 3 centres des cercles de rayon r.

R = r + (2/3)*H

où la hauteur du triangle

H = (4r^2-r^2)^1/2 = (3^1/2)*r .

On a alors

R = r + (2/3)*(3^1/2)*r = (1 + 2/(3^1/2))*r

Il y a aussi un petit cercle au milieu, tangent aux trois cercles. Et son rayon est le même que l'autre mais avec un - à la place du +, il me semble :
R = r - (2/3)*(3^1/2)*r = (1 - 2/(3^1/2))*r

Bien vu,

le rayon de ce cercle vaut celui du grand cercle moins le diamètre d'un cercle de rayon r.

R = r + (2/3)*H - 2r
R = (2/3)*H - r

ce qui donne

R = (2/3)*(3^1/2)*r - r = (2/(3^1/2) - 1)*r .

Val

En effet oui, mon rayon est négatif :p

Euh Nicolas, tu n'aurais pas en réserve une démonstration élégante du fait qu'il n'y a pas d'autre solution ?

Si on cherche un cercle extérieurement tangent à ces trois cercles, il faut que son centre soit à égale distance des trois centres, et donc qu'il soit le centre du triangle (intersection des médiatrices). De là, on trouve le petit cercle du milieu dont je parlais.

Si maintenant on cherche un cercle qui soit tangent aux trois mais parfois intérieurement, si on note le rayon du cercle qu'on cherche, il doit être à distance des cercles auquel il est extérieurement tangent et distance de ceux auxquels il est intérieurement tangent.

Si on en veut un intérieurement tangent aux trois, il doit donc être centré aussi au centre du triangle et on trouve le grand cercle dont on parlait.

Dans les autres cas, le cercle est intérieurement tangent à un cercle, disons de centre , et extérieurement à un autre, disons de centre . Si on note le centre du cercle recherché, on doit donc avoir , et . Si , on a alors et le triangle est dégénéré. Si , on a et il est dégénéré aussi. Donc , et sont alignés. D'autre part, on a aussi si est le centre du troisième cercle. Et est donc aussi sur la médiatrice de ou suivant les cas. On trouve alors que doit être égal à ou à . Et on est en fait ramené au cas où le cercle recherché est égal à un des trois cercles. Je ne sais pas si, dans ce cas, on peut vraiment dire qu'il est tangent aux trois cercles (pourquoi pas?).

Ceci dit, je te conseille de ne pas me croire sur parole et de vérifier, car je suis en forme pour raconter plein de bêtises ces temps-ci.

Ça m'a l'air tout à fait correct. Merci.
Et je pense que deux cercles sont tangents si et seulement si il ont un et un seul point d'intersection (à vérifier). Donc le cas confondu serait exclu.

rayons et

pas vu et pas possible de remettre?