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OMB 2011 Finale MIDI Question 1
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Soit , et trois cercles de même rayon , tangents deux à deux.

Combien existe-t-il de cercles tangents à ces trois cercles ? Quels sont leurs rayons ?



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 29/4/2011 1:48  Mis à jour : 29/4/2011
Il existe 1 seul cercle tangent à C1, C2 et C3. C'est le cercle circonscrit aux 3 cercles de rayon r.

Son rayon est donné par l'addition du rayon r d'un cercle inscrit et de 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral formé en reliant les 3 centres des cercles de rayon r.

R = r + (2/3)*H

où la hauteur du triangle

H = (4r^2-r^2)^1/2 = (3^1/2)*r .

On a alors

R = r + (2/3)*(3^1/2)*r = (1 + 2/(3^1/2))*r
Nicolas Radu
Posté le : 29/4/2011 15:29  Mis à jour : 29/4/2011
Il y a aussi un petit cercle au milieu, tangent aux trois cercles. Et son rayon est le même que l'autre mais avec un - à la place du +, il me semble :
R = r - (2/3)*(3^1/2)*r = (1 - 2/(3^1/2))*r
Anonyme
Posté le : 29/4/2011 16:42  Mis à jour : 29/4/2011
Bien vu,

le rayon de ce cercle vaut celui du grand cercle moins le diamètre d'un cercle de rayon r.

R = r + (2/3)*H - 2r
R = (2/3)*H - r

ce qui donne

R = (2/3)*(3^1/2)*r - r = (2/(3^1/2) - 1)*r .

Val
Nicolas Radu
Posté le : 29/4/2011 17:30  Mis à jour : 29/4/2011
En effet oui, mon rayon est négatif :p
Victor Lecomte
Posté le : 29/4/2011 18:56  Mis à jour : 29/4/2011
Euh Nicolas, tu n'aurais pas en réserve une démonstration élégante du fait qu'il n'y a pas d'autre solution ?
Nicolas Radu
Posté le : 29/4/2011 19:17  Mis à jour : 29/4/2011
Si on cherche un cercle extérieurement tangent à ces trois cercles, il faut que son centre soit à égale distance des trois centres, et donc qu'il soit le centre du triangle (intersection des médiatrices). De là, on trouve le petit cercle du milieu dont je parlais.

Si maintenant on cherche un cercle qui soit tangent aux trois mais parfois intérieurement, si on note le rayon du cercle qu'on cherche, il doit être à distance des cercles auquel il est extérieurement tangent et distance de ceux auxquels il est intérieurement tangent.

Si on en veut un intérieurement tangent aux trois, il doit donc être centré aussi au centre du triangle et on trouve le grand cercle dont on parlait.

Dans les autres cas, le cercle est intérieurement tangent à un cercle, disons de centre , et extérieurement à un autre, disons de centre . Si on note le centre du cercle recherché, on doit donc avoir , et . Si , on a alors et le triangle est dégénéré. Si , on a et il est dégénéré aussi. Donc , et sont alignés. D'autre part, on a aussi si est le centre du troisième cercle. Et est donc aussi sur la médiatrice de ou suivant les cas. On trouve alors que doit être égal à ou à . Et on est en fait ramené au cas où le cercle recherché est égal à un des trois cercles. Je ne sais pas si, dans ce cas, on peut vraiment dire qu'il est tangent aux trois cercles (pourquoi pas?).

Ceci dit, je te conseille de ne pas me croire sur parole et de vérifier, car je suis en forme pour raconter plein de bêtises ces temps-ci.
Victor Lecomte
Posté le : 29/4/2011 20:34  Mis à jour : 29/4/2011
Ça m'a l'air tout à fait correct. Merci.
Et je pense que deux cercles sont tangents si et seulement si il ont un et un seul point d'intersection (à vérifier). Donc le cas confondu serait exclu.
Anonyme
Posté le : 30/4/2011 22:10  Mis à jour : 30/4/2011

rayons et
Anonyme
Posté le : 30/4/2011 22:11  Mis à jour : 30/4/2011
pas vu et pas possible de remettre?
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