OMB - OMB 2011 Finale MIDI Question 2

OMB 2011 Finale MIDI Question 2

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Déterminer tous les couples $(x,y)$ d'entiers tels que

$\frac1x+\frac1y=\frac1{2011}.$

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 28/4/2011 19:34 Mis à jour : 28/4/2011
Il y a 6 couples d'entiers vérifiant cette équation : x=0, y=0 ; x=4022, y=4022 ; x=2012, y=4046132 ; x=4046132, y=2012 ; x=2010, y=-4042110 ; x=-4042110, y=2010 .

Anonyme	Posté le : 28/4/2011 20:07 Mis à jour : 28/4/2011
On peut réécrire l'équation sous la forme suivante : y = 2011*x / (x-2011) On trouve alors facilement les 6 couples solutions. A noter que 2011 est un nombre premier.

Anonyme	Posté le : 28/4/2011 20:18 Mis à jour : 28/4/2011
Je pense plutôt qu'il y a une infinité de couples possibles. 1/x+ 1/y= 1/2011 ⇔ x+y)/xy= xy/2011xy ⇔ x+y= xy/2011 ⇔ 2011 (x+y)= xy ⇔ 2011 x+2011 y=xy ⇔ xy-2011y=2011 x ⇔ y (x-2011)= 2011 x ⇔ y= (2011 x)/(x-2011) ⇒ Tous les couples d’entiers (x,y) qui satisfont à 1/x+ 1/y= 1/2011 sont de la forme (x ;(2011 x)/(x-2011)) privé de x=2011

Victor Lecomte	Posté le : 29/4/2011 19:03 Mis à jour : 29/4/2011
Pour ceux qui ont répondu 6 solutions : depuis quand on peut avoir des dénominateurs nuls ? Et pour celui qui a répondu une infinité : c'eût peut-être pu être correct... si ce n'est que tu n'es pas sûr que les solutions de ce type sont entières...

Anonyme	Posté le : 29/4/2011 19:05 Mis à jour : 29/4/2011
j'avais omis qu'ils devaient être entiers...

Anonyme	Posté le : 29/4/2011 19:21 Mis à jour : 29/4/2011
et comment alors déterminer ceux qui sont entiers ?

Anonyme	Posté le : 29/4/2011 20:49 Mis à jour : 29/4/2011
on utilise l'égalité y = 2011*x / (x-2011) pour trouver les solutions. On élimine le cas x=0, y=0. ce qui donne 5 solutions x=4022, y=4022 ; x=2012, y=4046132 ; x=4046132, y=2012 ; x=2010, y=-4042110 ; x=-4042110, y=2010 . Val

Victor Lecomte	Posté le : 29/4/2011 20:53 Mis à jour : 29/4/2011
En le résolvant de manière a avoir un produit d'entiers égal à un entier : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2011} \Leftrightarrow 2011y+2011x = xy$ $\Leftrightarrow xy-2011x-2011y+2011^2-2011^2 = 0$ $\Leftrightarrow (x-2011)(y-2011) = 2011^2$ À partir de là, on essaie pour $x-2011$ et $y-2011$ tous les diviseurs entiers de $2011^2$ (ne pas oublier les négatifs), ce qui nous donne 6 systèmes à résoudre : $<br />S_1=\left\{<br />\begin{array}{r c l}<br />x-2011 &=& -2011^2<br />y-2011 &=& -1<br />\end{array}<br />\right.\ S_2=\left\{<br />\begin{array}{r c l}<br />x-2011 &=& -2011<br />y-2011 &=& -2011<br />\end{array}<br />\right.\ S_3=\left\{<br />\begin{array}{r c l}<br />x-2011 &=& -1<br />y-2011 &=& -2011^2<br />\end{array}<br />\right.<br />S_4=\left\{<br />\begin{array}{r c l}<br />x-2011 &=& 1<br />y-2011 &=& 2011^2<br />\end{array}<br />\right.\ S_5=\left\{<br />\begin{array}{r c l}<br />x-2011 &=& 2011<br />y-2011 &=& 2011<br />\end{array}<br />\right.\ S_6=\left\{<br />\begin{array}{r c l}<br />x-2011 &=& 2011^2<br />y-2011 &=& 1<br />\end{array}<br />\right.<br />$ Le système $S_2$ seul ne donne pas de solution acceptable. Au total, l'ensemble solution est : $S=\{(-2010\times 2011, 2010), (2010, -2010\times 2011), (2012, 2012\times 2011), (4022, 4022), (2012\times 2011, 2012)\}$ . Ah, grillé. Mais bon, je trouve ma méthode plus jolie.

Anonyme	Posté le : 30/12/2012 15:13 Mis à jour : 30/12/2012
vous Etes le meilleur

Anonyme	Posté le : 3/7/2013 16:32 Mis à jour : 3/7/2013
Comment vous faites pour déterminer les valeurs du couple (x,y) à partir de l'égalité x = 2011y /(y-2011)