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OMB 2011 Finale MIDI Question 2
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Déterminer tous les couples d'entiers tels que





Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 28/4/2011 19:34  Mis à jour : 28/4/2011
Il y a 6 couples d'entiers vérifiant cette équation :

x=0, y=0 ;
x=4022, y=4022 ;
x=2012, y=4046132 ;
x=4046132, y=2012 ;
x=2010, y=-4042110 ;
x=-4042110, y=2010 .

Anonyme
Posté le : 28/4/2011 20:07  Mis à jour : 28/4/2011
On peut réécrire l'équation sous la forme suivante :

y = 2011*x / (x-2011)

On trouve alors facilement les 6 couples solutions.

A noter que 2011 est un nombre premier.
Anonyme
Posté le : 28/4/2011 20:18  Mis à jour : 28/4/2011
Je pense plutôt qu'il y a une infinité de couples possibles.

1/x+ 1/y= 1/2011
⇔ x+y)/xy= xy/2011xy
⇔ x+y= xy/2011
⇔ 2011 (x+y)= xy
⇔ 2011 x+2011 y=xy
⇔ xy-2011y=2011 x
⇔ y (x-2011)= 2011 x
⇔ y= (2011 x)/(x-2011)

⇒ Tous les couples d’entiers (x,y) qui satisfont à 1/x+ 1/y= 1/2011 sont de la forme (x ;(2011 x)/(x-2011)) privé de x=2011
Victor Lecomte
Posté le : 29/4/2011 19:03  Mis à jour : 29/4/2011
Pour ceux qui ont répondu 6 solutions : depuis quand on peut avoir des dénominateurs nuls ?
Et pour celui qui a répondu une infinité : c'eût peut-être pu être correct... si ce n'est que tu n'es pas sûr que les solutions de ce type sont entières...
Anonyme
Posté le : 29/4/2011 19:05  Mis à jour : 29/4/2011
j'avais omis qu'ils devaient être entiers...
Anonyme
Posté le : 29/4/2011 19:21  Mis à jour : 29/4/2011
et comment alors déterminer ceux qui sont entiers ?
Anonyme
Posté le : 29/4/2011 20:49  Mis à jour : 29/4/2011
on utilise l'égalité

y = 2011*x / (x-2011)

pour trouver les solutions. On élimine le cas x=0, y=0.

ce qui donne 5 solutions

x=4022, y=4022 ;
x=2012, y=4046132 ;
x=4046132, y=2012 ;
x=2010, y=-4042110 ;
x=-4042110, y=2010 .

Val
Victor Lecomte
Posté le : 29/4/2011 20:53  Mis à jour : 29/4/2011
En le résolvant de manière a avoir un produit d'entiers égal à un entier :




À partir de là, on essaie pour et tous les diviseurs entiers de (ne pas oublier les négatifs), ce qui nous donne 6 systèmes à résoudre :


Le système seul ne donne pas de solution acceptable. Au total, l'ensemble solution est :
.

Ah, grillé. Mais bon, je trouve ma méthode plus jolie.
Anonyme
Posté le : 30/12/2012 15:13  Mis à jour : 30/12/2012
vous Etes le meilleur
Anonyme
Posté le : 3/7/2013 16:32  Mis à jour : 3/7/2013
Comment vous faites pour déterminer les valeurs du couple (x,y) à partir de l'égalité
x = 2011y /(y-2011)
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