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OMB 2011 Finale MIDI Question 3
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Soit et deux réels non nuls de somme strictement positive. Montrer que




et déterminer dans quels cas il est vrai que




Solution(s) proposée(s) :


 
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Anonyme
Posté le : 29/4/2011 20:39  Mis à jour : 29/4/2011
on peut réécrire l'inégalité :

a/b^2 + b/a^2 - 1/a - 1/b >= 0

on obtient

(a^3 + b^3)/(a^2*b^2) - (a + b)/(ab) >= 0

(a^3 + b^3 - ab*(a + b))/(a^2*b^2) >= 0

on utilise l'identité remarquable de degré 3 suivante :

a^3 + b^3 = (a + b)*(a^2 - ab + b^2)

ce qui donne

((a + b)*(a^2 - ab + b^2) - (a + b)*ab)/(a^2*b^2) >= 0
((a + b)*(a^2 - 2ab + b^2))/(a^2*b^2) >= 0
((a + b)*(a - b)^2)/(a^2*b^2) >= 0

l'inégalité est correct car

a,b non nuls
a + b > 0
le carré d'un nombre réel est tjs positif ou nul

il y a égalité lorsque

a = b .

Val
Anonyme
Posté le : 21/4/2013 20:53  Mis à jour : 21/4/2013
En se basant sur ta dernière inéquation,
On peut dire que, pour que l'égalité soit vraie,
((a+b)*(a-b)^2)/(a^2*b^2)=0
=> a+b=0 ou a-b=0
=> a=-b ou a=b
Nicolas Radu
Posté le : 22/4/2013 18:15  Mis à jour : 22/4/2013
Mais le cas a = -b ne respecte pas la condition "a et b de somme strictement positive"
Anonyme
Posté le : 25/4/2013 19:22  Mis à jour : 25/4/2013
moi qui croyait avoir pu rectifié quelqu'un.
Je vais me rabattre sur les questions de Mini.
Anonyme
Posté le : 25/4/2013 19:26  Mis à jour : 25/4/2013
, j'espère juste ne pas avoir fait autant de fautes en finale (1 rectification => 1 faute).
Anonyme
Posté le : 15/6/2015 17:44  Mis à jour : 15/6/2015
On trouve effectivement qu'il y a égalité si mais puisque , la conclusion est qu'on a l'égalité lorsque à mon sens.
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