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OMB 2011 Finale MIDI Question 4
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Dans un triangle , la bissectrice de l'angle coupe en . Le cercle circonscrit au triangle coupe en et le cercle circonscrit au triangle coupe en . Démontrer que .



Solution(s) proposée(s) :


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 1/5/2011 10:41  Mis à jour : 1/5/2011
Bonne question, mais simple geom:
et et et on trouve
Victor Lecomte
Posté le : 1/5/2011 12:09  Mis à jour : 1/5/2011
Waw ! Ça vaut bien un Vanhamme !
(Ou alors, je n'ai simplement pas eu les yeux en face des trous...)
Anonyme
Posté le : 4/5/2011 23:26  Mis à jour : 4/5/2011
Comment sais-tu que AE.AB=AD.AC ?
Victor Lecomte
Posté le : 5/5/2011 12:38  Mis à jour : 5/5/2011
Puissance d'un point par rapport à un cercle...
Nicolas Radu
Posté le : 5/5/2011 16:18  Mis à jour : 5/5/2011
Je ne suis pas sûr que tout le monde connaisse la notion de puissance, Victor... En fait, quand on a un point et un cercle, et qu'on trace une droite passant par et coupant le cercle en deux points et , alors le produit est indépendant de la droite choisie (pourvu qu'elle coupe le cercle). Et ce produit est appelé la puissance de par rapport au cercle. Ainsi, dans cet énoncé, On a et le cercle passant par , , et . Et la puissance de par rapport à ce cercle est si on prend comme droite la droite , ou si on prend la droite . Donc . Note que le fait que ce produit ne dépend pas de la droite est assez simple à démontrer. En effet, les triangles et sont semblables car ils ont l'angle en commun et l'angle est supplémentaire de qui est lui même supplémentaire de (car deux angles opposés d'un quadrilatère inscriptible dans un cercle sont supplémentaires), d'où . Le mot puissance est donc un bien joli mot pour pas grand chose...
Philippe Niederkorn
Posté le : 5/5/2011 22:11  Mis à jour : 5/5/2011
En fait, si on veut éviter de devoir définir cette puissance comme étant "la valeur |PA|.|PB| quelle que soit la droite passant par P et coupant le cercle en A et B", ce qui est quand même lourd, on peut la définir comme étant , où O est le centre du cercle et R son rayon.

En considérant comme droite particulière le diamètre OP, on vérifie facilement qu'on obtient bien la même valeur...
Anonyme
Posté le : 6/5/2011 23:38  Mis à jour : 6/5/2011
Effectivement je ne connaissais pas. Mais c'est très clair maintenant effectivement c'est une belle solution, mais je ne vois comment faire autrement.
Anonyme
Posté le : 2/5/2016 7:29  Mis à jour : 2/5/2016
Avec ce que connaissent les élèves de troisième...
Les angles AED, FCD, DBA, DBC, DFC et DAE ont la même amplitude : ce sont des angles inscrits qui interceptent un même arc dans un des deux cercles, sauf pour les deux angles de sommet B qui valent la moitié de l'angle ABC par construction.
Appelons a l'amplitude commune de ces six angles.
Il en résulte que les angles DFC et DAE ont la même amplitude, égale à 180°-2a et qu'à leur tour les angles ADF et EDC ont la même amplitude égale à 180°-2a-EDF.
Cela étant, les triangles DAF et DEC sont isocèles et, par suite, les triangles DAF et DEC sont isométriques. Aussi, les segments AF et EC ont la même longueur; CQFD
Anonyme
Posté le : 2/5/2016 7:55  Mis à jour : 2/5/2016
Dans ma démonstration ci-dessus, j'ai inversé les lettres E et F : mille excuses !
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