OMB - OMB 2011 Finale MAXI Question 1

OMB 2011 Finale MAXI Question 1

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(a) Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que, pour tous réels $x$ et $y$ ,

$f(x+y)=2011^y\cdot f(x)+2012^x\cdot f(y).$

(b) Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que, pour tous réels $x$ , $y$ et $z$ ,

$f(x+y+z)=2010^y\cdot f(x)+2011^z\cdot f(y)+2012^x\cdot f(z).$

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Adrien Vandenschrick

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Anonyme	Posté le : 28/4/2011 20:16 Mis à jour : 28/4/2011
monnom a: $f(x+y)=f(y+x)$ et replacer donne $(2012^x-2011^x)f(y)=(2012^y-2011^y)f(x)$ $x=1$ donne $f(y)=(2012^y-2011^y)f(1)$ c'est très simple que $f(x)=a(2012^y-2011^y)$ pour tous réel $a$ fait la question vrai.

Anonyme	Posté le : 28/4/2011 20:42 Mis à jour : 28/4/2011
(b): $P(x,x,z)=P(x,z,x)$ donne $2010^xf(x)+2011^zf(x)+2012^xf(z)=2010^zf(x)+2011^xf(z)+2012^xf(x)$ $x=1$ et réanger, donne $f(z)=f(1)[2+2010^z-2011^z]$ alors checking, mais c'est facile que ca ne marche pas pour $f(1) \not = 0$ si $f(x)=0$ est la seule solution.

Anonyme	Posté le : 22/5/2011 19:16 Mis à jour : 22/5/2011


Anonyme	Posté le : 2/11/2015 23:03 Mis à jour : 2/11/2015
jkgbk

Anonyme	Posté le : 18/10/2022 12:29 Mis à jour : 18/10/2022
:pint!