OMB - OMB 2011 Finale MAXI Question 2

OMB 2011 Finale MAXI Question 2

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Soit $ABCD$ un rectangle. Les points $K$ , $L$ , $M$ et $N$ sont respectivement choisis sur les côtés $]AB[$ , $]BC[$ , $]CD[$ et $]DA[$ . Le point d'intersection de $KM$ et $LN$ est noté $P$ .

(a) $KM\perp LN$ et $P\in BD$ entrainent-ils que $KL\parallel MN$ ?

(b) $P\in BD$ et $KL\parallel MN$ entrainent-ils que $KM\perp LN$ ?

(c) $KL\parallel MN$ et $KM\perp LN$ entrainent-ils que $P\in BD$ ?

Solution(s) proposée(s) :

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Anonyme	Posté le : 30/4/2011 22:08 Mis à jour : 30/4/2011
$(a)$ c'est encore simple que $\triangle{DPN}\sim\triangle{BPL}$ $\triangle{DPM}\sim\triangle{BPK}$ parce que $AD//BC$ et similaire si $\|PN\|\|PK\|=\|PL\|\|PM\|$ et with angle of $90^\circ$ $\Rightarrow \triangle{PNM}\sim\triangle{PLK}$ et conclusion est fait $(b)$ soit $ABCD$ un carré et $BD\perp KL,MN$ on peut replacer $MN$ et l'angle va changer, mais $P$ reste on $BD$ et si pas vrai. (c) $\triangle{MPN}\sim\triangle{KPL}$ et si c'est vrai.