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OMB 2011 Finale MAXI Question 4
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Soit un réel.

(a) Il existe trois entiers distincts , et tels que , et soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique; cela entraine-t-il que le nombre est rationnel ?

(b) Si le nombre est rationnel, existe-t-il trois entiers distincts , et tels que , et soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Adrien Vandenschrick


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 28/4/2011 20:51  Mis à jour : 28/4/2011

alors on vois mais ca ne puet pas, ils sont différente, ca doit, ou ca ne marche pas,
alors on trouve que
et alors et la resultat est simple a conclure, vrai quand
Anonyme
Posté le : 17/5/2011 18:02  Mis à jour : 17/5/2011
Il s'agit d'une suite GEOMETRIQUE.
Anonyme
Posté le : 18/5/2011 21:37  Mis à jour : 18/5/2011
Ben oui, c'est juste ce qu'il dit.
Anonyme
Posté le : 18/5/2011 21:37  Mis à jour : 18/5/2011
Moyenne GEOMETRIQUE
Anonyme
Posté le : 23/7/2011 18:09  Mis à jour : 23/7/2011
Si x=p/q est rationnel, avec a=0, b=p et c=2p+pq, on obtient une suite géométrique de raison (q+1)
Anonyme
Posté le : 23/7/2011 18:14  Mis à jour : 23/7/2011
En effet, si on cherche une solution avec a=0, on a x=(b*b-ac)/(a+c-2b)=b*b/(c-2b)
or x=p/q=p*p/pq
donc pour b=p, c-2p=pq implique c=2p+pq.
La vérification est immédiate.
Anonyme
Posté le : 22/9/2011 13:56  Mis à jour : 22/9/2011
J'écrirais ceci après quelques développements :
x = (c-bq)/(q-1)=(b-aq)/(q-1) sous réserve q différent de 1, ce qui est vrai car sinon a=b=c.
On déduit q = (b-c)/(a-b) qui existe, est rationnel et non nul vu les hypothèses.

Donc les deux expressions de x écrites ci-avant sont rationnelles.
Résultat intéressant : q différent de 1 implique que b ne peut être la moyenne de a et de c.
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