OMB - OMB 2011 Finale MAXI Question 4

OMB 2011 Finale MAXI Question 4

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Soit $x$ un réel.

(a) Il existe trois entiers distincts $a$ , $b$ et $c$ tels que $a+x$ , $b+x$ et $c+x$ soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique; cela entraine-t-il que le nombre $x$ est rationnel ?

(b) Si le nombre $x$ est rationnel, existe-t-il trois entiers distincts $a$ , $b$ et $c$ tels que $a+x$ , $b+x$ et $c+x$ soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique ?

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Adrien Vandenschrick

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Anonyme	Posté le : 28/4/2011 20:51 Mis à jour : 28/4/2011
$(a)$ $a+c=2b$ alors on vois $a=b=c$ mais ca ne puet pas, ils sont différente, ca doit, ou ca ne marche pas, alors on trouve que $(a+x)(c+x)=(b+x)^2$ et alors $x=\frac{b^2-ac}{a+c-2b}$ et la resultat est simple a conclure, vrai quand $a \not = b.$

Anonyme	Posté le : 17/5/2011 18:02 Mis à jour : 17/5/2011
Il s'agit d'une suite GEOMETRIQUE.

Anonyme	Posté le : 18/5/2011 21:37 Mis à jour : 18/5/2011
Ben oui, c'est juste ce qu'il dit.

Anonyme	Posté le : 18/5/2011 21:37 Mis à jour : 18/5/2011
Moyenne GEOMETRIQUE

Anonyme	Posté le : 23/7/2011 18:09 Mis à jour : 23/7/2011
Si x=p/q est rationnel, avec a=0, b=p et c=2p+pq, on obtient une suite géométrique de raison (q+1)

Anonyme	Posté le : 23/7/2011 18:14 Mis à jour : 23/7/2011
En effet, si on cherche une solution avec a=0, on a x=(bb-ac)/(a+c-2b)=bb/(c-2b) or x=p/q=p*p/pq donc pour b=p, c-2p=pq implique c=2p+pq. La vérification est immédiate.

Anonyme	Posté le : 22/9/2011 13:56 Mis à jour : 22/9/2011
J'écrirais ceci après quelques développements : x = (c-bq)/(q-1)=(b-aq)/(q-1) sous réserve q différent de 1, ce qui est vrai car sinon a=b=c. On déduit q = (b-c)/(a-b) qui existe, est rationnel et non nul vu les hypothèses. Donc les deux expressions de x écrites ci-avant sont rationnelles. Résultat intéressant : q différent de 1 implique que b ne peut être la moyenne de a et de c.

Anonyme	Posté le : 21/6/2019 23:43 Mis à jour : 21/6/2019
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