OMB - OMB 2011 Finale MAXI Question 1 - Solution de Adrien Vandenschrick

OMB 2011 Finale MAXI Question 1 - Solution de Adrien Vandenschrick

1282 vues | Retourner à la liste des questions

Question :

(a) Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que, pour tous réels $x$ et $y$ ,

$f(x+y)=2011^y\cdot f(x)+2012^x\cdot f(y).$

(b) Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que, pour tous réels $x$ , $y$ et $z$ ,

$f(x+y+z)=2010^y\cdot f(x)+2011^z\cdot f(y)+2012^x\cdot f(z).$

Solution de Adrien Vandenschrick :

(a) On a $f(x+1)=f(1+x)$
$\Rightarrow 2011f(x)+2012^xf(1)=2011^xf(1)+2012f(x)$
$\Rightarrow f(x)=(2012^x-2011^x)f(1)$

Vérifions que cette fonction satisfait la relation pour f(1), un réel quelconque.
On a $(2012^{x+y}-2011^{x+y})f(1)=2011^y(2012^x-2011^x)f(1)+2012^x(2012^y-2011^y)f(1)$
$\Leftrightarrow (2012^{x+y}-2011^{x+y})f(1)=(2012^{x+y}+2011^y2012^x-2011^y2012^x-2011^{x+y})f(1)$
$\Leftrightarrow (2012^{x+y}-2011^{x+y})f(1)=(2012^{x+y}-2011^{x+y})f(1)$

(b) Pour $x=y=z=0$ , on a $f(0)=2010^0f(0)+2011^0f(0)+2012^0f(0)=3f(0)\Rightarrow f(0)=0$

On a $f(x+1+0)=f(1+x+0)$
$\Rightarrow 2010^1f(x)+2011^0f(1)+2012^xf(0)=2010^xf(1)+2011^0f(x)+2012^1f(0)$
$\Rightarrow 2010f(x)+f(1)=2010^xf(1)+f(x)$
$\Rightarrow f(x)=\frac{(2010^x-1)f(1)}{2009}$

Et on a $f(x+0+1)=f(1+0+x)$
$\Rightarrow 2010^0f(x)+2011^1f(0)+2012^xf(1)=2010^0f(1)+2011^xf(0)+2012^1f(x)$
$\Rightarrow f(x)+2012^xf(1)=f(1)+2012f(x)$
$\Rightarrow f(x)=\frac{(2012^x-1)f(1)}{2011}$

Ces deux expressions de $f(x)$ ne sont égales pour tout $x$ que si $f(1)=0$ et si, par conséquent, $f(x)=0$

Revenir à la question

Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.