Onze concurrents (Alexandre, Bérénice, ..., Knud) participent à un tournoi où ils s'affrontent par joutes à cinq, de manière que, à la fin du tournoi, chacun ait affronté exactement deux fois chacun de ses dix adversaires.

(a) À combien de joutes participe un concurrent ?

(b) De combien de joutes est constitué ce tournoi ?

(c) Peut-il se faire que trois concurrents se soient trouvés ensemble dans plusieurs joutes ?

(d) Indiquer une organisation pour les joutes d'un tel tournoi.

(a) Chaque concurrent doit faire 20 rencontres et il peut rencontrer 4 adversaires dans une joute. Il doit donc participer à joutes.

(b) Il faut organiser en tout rencontres et une joute permet d'organiser rencontres. Il faut donc organiser joutes.

(c) 1. Tout d'abord, remarquons que ce n'est pas possible pour quatre. En effet, sinon, outre les deux joutes qu'ils ont fait ensemble, il leur reste à faire trois joutes chacun séparément, ce que fait au moins joutes (soit strictement plus que les joutes organisées).

2. Considérons maintenant que trois concurrents C1, C2 et C3 participe ensemble à deux joutes J1 et J2. C1, C2 et C3 ne pouvant pas faire plus de joutes ensemble, ont les inscrits chacun dans 3 des 9 joutes restantes.

3. Considérons maintenant C4, le quatrième concurrent de la joute J1. Par le point 1. On sait qu'il ne peut pas participer à la joute J2 sous peine de participer à deux mêmes joutes avec C1, C2 et C3. On doit donc lui trouver quatre joutes pour qu'il n'affronte pas plus de deux fois soit C1, soit C2, soit C3. Ce qui est impossible étant donné que C1, C2 et C3 sont chacun dans trois des neuf joutes restantes.

(d) Une solution est donnée par : (où 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A et B sont les concurrents)
J1 : 12345
J2 : 12678
J3 : 1369B
J4 : 1479A
J5 : 158AB
J6 : 2389A
J7 : 246AB
J8 : 2579B
J9 : 3478B
JA : 3567A
JB : 45689