| OMB 2011 Finale MAXI Question 4 - Solution de Adrien Vandenschrick |
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Question :
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Soit  un réel.
(a) Il existe trois entiers distincts  ,  et  tels que  ,  et  soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique; cela entraine-t-il que le nombre est rationnel ?
(b) Si le nombre est rationnel, existe-t-il trois entiers distincts , et tels que , et soient trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? |
Solution de Adrien Vandenschrick :
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(a) Considérons que la raison de la suite est  .
On a alors -(a+x)=(k-1)(a+x)) et -(b+x)=k(k-1)(a+x)) qui doivent être entiers car ce sont des différences d'entiers.
Or  est rationnel car c'est le quotient de deux entiers. Il suit que  est rationnel, que l'est aussi (pour que (k-1)(a+x) soit entier) et donc que l'est lui aussi.
(b) On pose  (où  et  sont des entiers) Si ont prend un entier , alors il existe toujours des entiers et tel que , et forment une suite géométrique de raison  .
En effet si (a+x)) , on a +qx=a(q+1)+p) qui est entiers comme , et le sont.
Et si ^2(a+x)) , on a ^2+(q+2)qx=a(q+1)+p(q+2)) qui est entiers comme , et le sont.
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