OMB - OMB 2012 Finale MINI Question 4

OMB 2012 Finale MINI Question 4

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Johan, plus âgé que Fabrice, remarque qu’en permutant les deux chiffres de son âge, il obtient celui de Fabrice. Ce dernier, quant à lui, observe que la différence entre les carrés de leurs âges est le carré d’un naturel non nul. Quels sont leurs âges respectifs ?

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud

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Anonyme	Posté le : 25/4/2012 21:00 Mis à jour : 25/4/2012
J'attend avec impatience une réponse car je sèche complètement

Anonyme	Posté le : 25/4/2012 21:43 Mis à jour : 25/4/2012
Johan a 65 ans et Fabrice 56 ans. 65² - 56² = 33² ... Anonyme

Victor Lecomte	Posté le : 25/4/2012 22:05 Mis à jour : 25/4/2012
Notons les chiffres de leurs âges a et b, avec a plus grand que b. Johan a donc 10a+b ans, tandis que Fabrice a 10b+a ans. La différence de leurs carrés vaut donc $(10a+b)^2-(10b+a)^2=99(a+b)(a-b)$ . Puisque ce nombre doit être un carré parfait, et que dans 99 il y a un seul facteur premier 11, on sait que (a+b)(a-b) doit être multiple de 11. Mais a et b sont des chiffres, donc seul (a+b) peut être multiple de 11, et il vaut 11. En le remplaçant, on obtient que $33^2.(a-b)$ doit être un carré parfait, et puisque $33^2$ est déjà un carré parfait, (a-b) doit également être un carré parfait. Vu que c'est la différence de deux chiffres, on n'a que les choix 1, 4, et 9. Ces deux derniers ne sont pas possibles car ils donneraient pas des chiffres comme solutions. La seule solution est donc (a-b)=1, soit a=6 et b=5. Par conséquent, Johan a 65 ans et Fabrice a 56 ans.

Anonyme	Posté le : 28/5/2012 11:38 Mis à jour : 28/5/2012
Qui saurait m'expliquer pourquoi (10d+u)²-(10u+d)²=n² vaut 99(d²-u²)=n²? Merci d'avance.

Nicolas Radu	Posté le : 28/5/2012 16:17 Mis à jour : 28/5/2012
100d²+20du+u²-100u²-20ud-d² = 99(d²-u²)...

Anonyme	Posté le : 30/5/2012 20:12 Mis à jour : 30/5/2012
Ah ouais ok c'est encore un peu flou mais c'est bon sinon. Merci.

Anonyme	Posté le : 15/1/2013 16:26 Mis à jour : 15/1/2013
moi je vais participer au olympide de cette annee olala je stresse mais c'est trop complique .

Anonyme	Posté le : 5/3/2022 18:12 Mis à jour : 5/3/2022
Johan du et Fabrice ud (10d+u)^2-(10u+d)^2=n^2 100d^2+20du+u^2-100u^2-20du-d^2=n^2 100 (d^2-u^2)-(u^2-d^2)=n^2 (d^2-u^2).(100-1)=n^2 99.(d^2-u^2)=n^2 99=3.3.11 donc il faut que d^2-u^2=11 comme ça on a un carré n=33^2 les nombres de 0 à 9 dont la difference au carré est 11 donne: 6^2 (36)-5^2 (25)=11 donc d=6 et u=5