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OMB 2012 Finale MIDI Question 1
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Soit et des entiers qui diffèrent d'un multiple de .

(a) Le nombre est-il toujours somme de deux carrés d'entiers ?

(b) Est-il toujours somme de trois carrés d'entiers ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution officielle


 
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Anonyme
Posté le : 26/4/2012 22:29  Mis à jour : 26/4/2012
(a)et (b) non, soit a=4, b=5. le nombre obtenu est alors une fraction. donc il est impossible que il est égal à la somme de deux carrés voire trois carrés d'entiers. (puisque cette somme et toujours un nombre entier)

Qqn peut me dire si c'est juste ou pas? (ça ma l'air un peut trop évident)
Andreas
Francois Staelens
Posté le : 27/4/2012 11:25  Mis à jour : 27/4/2012
Effectivement, ce serait trop évident.

Il faut interpréter l'hypothèse "Soit et des entiers qui diffèrent d'un multiple de ." comme le fait que est un multiple de .
Anonyme
Posté le : 5/5/2012 10:01  Mis à jour : 5/5/2012
Pour le a, c'est non. Si on prend a = 4 et b = 1, on obtient comme nombre 14 qui ne peut pas s'écrire comme la somme de deux carrés
Anonyme
Posté le : 22/5/2012 16:40  Mis à jour : 22/5/2012
La question veut dire que a=b+3k ou k est un entier.

alors ((b+3k)^2 + (b+3k)b + b^2)*2/3

=(b^2 + 6kb + 9k^2 + b^2 + 3kb + b^2) *2/3
=(3b^2 + 9kb + 9k^2)*2/3
=(2b^2 + 6kb + 6k^2)
=k^2 + (2k + b)^2 + (k + b)^2. c'est toujours un somme de 3 carres d'entiers.

Si k=0 ou b=-k ou b=-2k, il est un somme de deux carres d'entiers.

Je ne sais pas s'il y a un autre cas pour a, mais c'est tous que j'ai trouvé.
Anonyme
Posté le : 23/5/2012 21:13  Mis à jour : 23/5/2012
alors
(a)Non, pas toujours
(b)oui, il est toujours somme de trois carres d'entiers(k^2 + (k+b)^2 + (2k+b)^2)
Francois Staelens
Posté le : 24/5/2012 10:24  Mis à jour : 24/5/2012
Pour le (a), si on demande si c'est le cas, donner un contre-exemple suffit. On ne demande pas dans quels cas c'est vrai.
(Je répond juste au post anonyme (pour changer) du 22/5/2012)
Mais ça peut-être amusant de voir dans quels cas c'est vrai.
Anonyme
Posté le : 24/5/2012 18:08  Mis à jour : 24/5/2012
desolé. J'ai pensé que la person sous votre derniere message l'a deja donné.
Anonyme
Posté le : 28/6/2012 11:19  Mis à jour : 28/6/2012
La formulation de la question est ambiguë.On peut l'interpréter comme:"...entiers qui sont différents d'un multiple de 3" au lieu de"...entiers dont la différence est un multiple de 3"
Anonyme
Posté le : 10/5/2017 12:04  Mis à jour : 10/5/2017
Jeanne d'Arc
Au secours!
Anonyme
Posté le : 10/5/2017 12:05  Mis à jour : 10/5/2017
Jeanne d'Arc
Au secours!
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