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OMB 2012 Finale MIDI Question 2
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Augustin, Bérénice, Coralie et Damien choisissent des nombres non nécessairement distincts , , et puis se les communiquent les uns aux autres. Ils constatent que les nombres de choix de , de , de et de valent justement , , et (mais pas nécessairement dans cet ordre). Quelles sont toutes les listes compatibles avec ces informations ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution officielle


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 25/4/2012 21:07  Mis à jour : 25/4/2012
Personnellement j'ai trouvé (1, 2, 1, 0) et (2, 0, 2, 0) mais sans calcul et en essayant au hasard donc je vous laisse détailler.
Anonyme
Posté le : 1/5/2012 18:32  Mis à jour : 1/5/2012
Le nombre de choix est égal à 4 (a,b,c,d)
Vu que a,b,c et d valent le nombre de choix de 0, de 1, de 2 et de 3, a+b+c+d = 4 (nombre de choix).
Cela nous donne 4 possibilités:
-(3,1,0,0)
-(2,2,0,0)
-(2,1,1,0)
-(1,1,1,1)
(l'ordre n'a pas d'importance)

La 1ère et la dernière possibilités ne sont pas acceptables.
Il reste 2 solutions:
(2,2,0,0) (2x2, 2x0, 0x1, 0x3)
et (2,1,1,0) (2x1, 1x2, 1x0, 0x3)

Anonyme
Posté le : 23/5/2012 22:13  Mis à jour : 23/5/2012
Il y a 6 listes de (a,b,c,d) pour 2,2,0,0 et il y a 12 listes de (a,b,c,d) pour 2,1,1,0 alors il y a 18 listes(a,b,c,d) compatibles avec ces informations.
Anonyme
Posté le : 4/1/2013 12:56  Mis à jour : 4/1/2013
Quelqu'un aurait la vraie solution? Car je n'y arrive pas.

Merci :)
Nicolas Radu
Posté le : 5/1/2013 22:49  Mis à jour : 5/1/2013
Pour reformuler l'énoncer, il faut que parmi les nombres a, b, c et d, exactement a soient des 0, b soient des 1, c soient des 2 et d soient des 3 (à une permutation près des lettres).
Tout d'abord, tous les nombres a, b, c, d sont forcément entre 0 et 4 comme il ne peut pas y avoir -1 nombres ou 5 nombres identiques.
Si un des nombre vaut 4, alors il y a quatre nombres 0, ou quatre nombre 1, ou... Mais dans tous les cas, il ne peut pas y avoir de nombre 4, donc ce n'est pas possible!
Les nombres sont donc tous entre 0 et 3.
De là, on peut à présent dire que a+b+c+d = 4 (avant on savait seulement que a+b+c+d <= 4).
A partir de là, je ne vois pas d'autre manière que de les tester une par une.
Comme dit plus haut, il y a
(3,1,0,0)
(2,2,0,0)
(2,1,1,0)
(1,1,1,1)
à l'ordre près.
Il suffit de voir, dans la paire (a,b,c,d), s'il y effectivement a nombres d'une sorte, b d'une autre, c d'une autre et d d'une autre. Il faut donc que si on compte le nombre de 0 dans (a,b,c,d), puis le nombre de 1, etc et qu'on les écrits comme (e,f,g,h), on retombe sur une permutation de (a,b,c,d).
Pour (3,1,0,0), on trouve (2,1,0,1) qui n'est pas une permutation de (3,1,0,0).
Pour (2,2,0,0), on trouve (2,0,2,0) qui en est bien une permutation, donc (a,b,c,d) = (2,2,0,0) (ou une permutation) convient.
Pour (2,1,1,0), on trouve (1,2,1,0) qui en est bien une permutation, donc (a,b,c,d) = (2,1,1,0) (ou une permutation) convient.
Pour (1,1,1,1), on trouve (0,4,0,0) qui n'est pas une permutation de (1,1,1,1).

Au final, on a donc (2,2,0,0) et (2,1,1,0). Si on compte que l'ordre des personnes est important, on a donc 6 possibilités pour la première et 12 pour la deuxième.
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