OMB - OMB 2012 Finale MIDI Question 3

OMB 2012 Finale MIDI Question 3

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Un hexagone $ABCDEF$ est dit sympa s'il est inscrit à un cercle et que les bissectrices des angles $\widehat{ABC}$ , $\widehat{CDE}$ et $\widehat{EFA}$ passent toutes trois par le centre $O$ de ce cercle.

(a) Prouver que, si $ABCDEF$ est sympa, alors $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$ .

(b) Existe-t-il des hexagones sympas non réguliers ? Si oui, construire une figure en montrant un. (Expliquer la construction effectuée.)

(c) Démontrer que les trois grandes diagonales $[AD]$ , $[BE]$ et $[CF]$ d'un hexagone sympa sont concourantes.

(d) Soit $B$ , $D$ et $F$ trois points non alignés. Construire (« à la règle et au compas ») trois points $A$ , $C$ et $E$ tels que l'hexagone $ABCDEF$ soit sympa.

Solution(s) proposée(s) :
	Solution officielle

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Anonyme	Posté le : 25/4/2012 21:51 Mis à jour : 25/4/2012
J'ai trouvé sans trop de problème les (a), (b) et (d) mais le (c) m'intrigue... La démonstration n'est-elle pas tout simplement l'énoncé de la question ?

Victor Lecomte	Posté le : 25/4/2012 22:08 Mis à jour : 25/4/2012
Non. Il ne faut pas confondre grandes diagonales et bissectrices des angles...

Anonyme	Posté le : 27/4/2012 21:03 Mis à jour : 27/4/2012
Qqn veut bien donner une astuce pour comment prouver que des lignes sont concourantes? merci! Andreas

Anonyme	Posté le : 29/4/2012 9:54 Mis à jour : 29/4/2012
pour c, dessinez un triangle ACE,on connait que les diagonales sont des bissectrices des angles de cette triangle.(parce que F est la millieu de l'arc AE, D est la millieu de l'arc EC et B est la millieu de l'arc AC). on sait que les bissectrices d'un triangle sont concourantes dans la centre de gravité (je ne suis pas sur si j'ai utilisé la terme correcte) mais oui ils sont toujours concourantes.

Anonyme	Posté le : 29/4/2012 16:38 Mis à jour : 29/4/2012
oui svp