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OMB 2012 Finale MIDI Question 4
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Les mesures des trois côtés d'un triangle isocèle sont respectivement 29, 29 et 40.

(a) Calculer son périmètre et son aire.

(b) Existe-t-il un triangle isocèle ayant même périmètre et même aire, bien que les mesures de ses côtés soient différentes de celles du triangle précédent ? Si oui, donner tous les triangles isocèles qui conviennent.



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Louis Delhez


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 26/4/2012 21:33  Mis à jour : 26/4/2012
Ma méthode :

(a) Périmètre = 29 + 29 + 40 = 98
Aire : (B.h)/2 = (40.21)/2 = 420 (On trouve la hauteur 21 en appliquant Pythagore)

(b) Système :
x + y + z = 98
(z√[x^2 - (z/2)^2])/2 = 420

En résolvant le système, on peut arriver à :

x = (98-z)/2
z√(49-z) = 120

On suppose que z est un diviseur de 120, donc on cherche les diviseurs de 120.
div 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

On essaye d'attribuer à z chaque valeur étant un diviseur de 120 et, ce faisant, on trouve que z = 24 ou z = 40 (celui là étant la solution du triangle de l'énoncé).

Il existe donc un autre triangle dont les mesures diffèrent de 29, 29 et 40 mais possédant le même périmètre et la même aire que celui -ci. Ses côtés valent respectivement 37, 37 et 24.
Francois Staelens
Posté le : 27/4/2012 12:08  Mis à jour : 27/4/2012
Rien au départ ne dit que les côtés doivent avoir une longueur entière.

Il faut résoudre le système:



Si tu injectes dans la deuxième équation, tu obtiens (en élevant au carré) l'équation du troisième degré suivante:


Tu peux ensuite factoriser grâce à horner (puisque tu as trouvé que 24 était solution):



Tu te retrouves alors à devoir résoudre une équation du second degré dont les racines sont:



Les solutions sont donc
Or est difficilement acceptable.

Ta réponse était juste, mais tu aurais pu oublier une solution non entière s'il y en avait eu une.
Anonyme
Posté le : 28/4/2012 8:26  Mis à jour : 28/4/2012
C'est juste, un de mes amis l'avait résolu en classe de cette manière mais il avait eu besoin de la calculatrice pour appliquer Horner.
Francois Staelens
Posté le : 28/4/2012 12:48  Mis à jour : 28/4/2012
Je viens d'ailleurs de me rendre compte que la factorisation par horner est évidente vu que l'énoncer te donne une racine : 40.
Mais si tu ne veux pas utiliser horner, tu peux montrer que la 3e racine du polynôme est négative (en faisant l'analyse de la fonction, mais je ne sais plus si en midi on est sensé savoir le faire ou pas).
Victor Lecomte
Posté le : 4/5/2012 20:35  Mis à jour : 4/5/2012
Ben pour prouver que la dernière racine est négative, il suffit de voir que leur produit, qui est l'opposé du terme indépendant, est négatif. Je ne sais pas si c'est ce que tu voulais dire.
Francois Staelens
Posté le : 4/5/2012 23:50  Mis à jour : 4/5/2012
Non, je pensais plutôt au théorème de la valeur intermédiaire, en sachant qu'un polynôme du 3e degré comprend au maximum 3 racines, donc change au maximum 3 fois de signe.
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