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OMB 2012 Finale MAXI Question 2
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Soit l'équation en les inconnues , , , qui sont des nombres premiers.

(a) En donner une solution.

(b) Montrer que, dans chacune de ses solutions, , et sont distincts.

(c) Donner toutes ses solutions.



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Sophie Peng-Casavecchia


 
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Anonyme
Posté le : 27/4/2012 20:23  Mis à jour : 27/4/2012
noter que l'on peut transformer l'équation en

(a)
(b) si alors

.
Pour et elle n'est pas correcte après
augmente de façon exponentielle donc l'équation ne sera jamais égale
si alors

<==>
ce qui est seulement possible si , mais p est premier.
(c) prenant la combinations la plus petite
on remarque qu'elle n'est pas correcte
est possible. la troisiéme plus petite est
, mais elle n'est de nouveau pas correcte
pour les autres combinations on remarque que
devient trop grand pour équivaloir . (qqn peut me dire comment de prouver cela de façon plus "mathématique"??)
Une solution donc 2,3,7
Anonyme
Posté le : 27/4/2012 20:32  Mis à jour : 27/4/2012
Moi j'avais trouvé l'équation suivante: q=(2r+1)/r-2
J'ai aussi prouvé au début qu'il y a d'office un 2 comme solution j'ai posé r=2. On reprend l'équation avec r=7 et on trouve q=3
De là, en augmentant la valeur de r on remarque que le q va tendre vers deux. Or par la question b on sait qu'il ne peux pas y avoir deux 2.
D'où il n'y a qu'une seule solution: (2,3,7)
Anonyme
Posté le : 27/4/2012 21:01  Mis à jour : 27/4/2012
Comment tu arrives à cette équation?

Andreas
Anonyme
Posté le : 27/4/2012 22:42  Mis à jour : 27/4/2012
pq+qr+rp+1=pqr
si on pose p=2( car par un jeu de pair impair on peut prouver qu'il y a un 2)
2q+qr+2r+1=2qr
2q+2r+1=qr
2r+1=qr-2q
2r+1=q(r-2)
q=(2r+1)/(r-2)
Voila comment j'arrive à cette équation qui simplifie tout.

Antoine
Carole Muller
Posté le : 27/4/2012 22:45  Mis à jour : 27/4/2012
Pour le point b) on peut trouver l' équation
p^2(1-q)+p*2q+1=0 si p=r.
On peut assez facilement montrer qu' alors p doit être irrationnel.
Delta= 4q^2+4q-4=4(q^2+q-1), or p est rationnel <=> q^2+q-1 est un carré;
ce qui n' est pas le cas sauf q=1
d' où p n' est pas premier

(c) en analysant modulo 2, on trouve qu' un des trois nombres doit être 2 (par exemple r=2)
pq+2q+2p+1=2pq
en analysant modulo 3, on trouve:
-Si p=3, alors on trouve q=7 comme seule solution possible en analysant les deux membres modulo q.
-Si p est congru à 1 modulo 3, alors il faut que q=3 et donc p=7
-Si p est congru à 2 modulo 3, alors on trouve une contradiction
d' où les permutations (6 en tout) du triplet (2,3,7) sont les seules solutions possibles
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