| OMB 2012 Finale MINI Question 1 - Solution officielle |
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Question :
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Soit
- La somme à
 terme  ;
- La somme à
 termes  ;
- La somme à
 termes  ;
- La somme à
 termes  ;
- La somme à
 termes  ;
(a) Écrire la somme à 9 termes.
(b) La somme à 2012 termes est-elle un nombre pair ou un nombre impair ?
(c) Pour quels naturels non nuls  la somme à termes est-elle impaire ? |
Solution officielle :
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(a) La somme à 9 termes s'écrit
(b) En écrivant
=1\times2012+2\times2011+3\times2010+\cdots+2011\times2+2012\times1, )
on voit que, dans cette somme, chaque terme se compose d'un facteur pair et d'un facteur impair. Tous les termes de ) sont dès lors pairs, il en va de même pour puisque la somme d'un certain nombre de termes pairs est paire.
(c) Le même raisonnement montre que, chaque fois que est pair, la somme à termes sera paire. Essayons quelques valeurs de impair.
-
 = 1) , la somme est impaire.
-
 = 1 \times 3 + 2 \times 2 + 3 \times 1 = 10) , la somme est paire.
-
 = 1 \times 5 + 2 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 6 +5 \times 1=35) , la somme est impaire.
Dans les sommes ayant un nombre impair de termes, on peut observer l'apparition d'un « terme central » qui est un carré parfait. La somme de tous les autres termes étant paire, ) sera impaire en fonction de la parité de ce terme central. Dans avec impair, le terme central est  . Pour que soit impair, on doit donc avoir
La somme à termes sera donc impaire si et seulement si est un multiple de 4 augmenté de 1.
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