OMB - OMB 2012 Finale MINI Question 2

OMB 2012 Finale MINI Question 2 - Solution officielle

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Question :

Soit $A$ un point sur un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ .

(a) Soit encore $B$ un point du cercle, tel que $|AB|=|OA|$ . La perpendiculaire à $OB$ par $A$ recoupe le cercle en $B^\prime$ . Le quadrilatère $OABB^\prime$ est-il (i) un trapèze ? (ii) un parallélogramme ? (iii) un losange ? (iv) un rectangle ? (v) un carré ? Justifier.

(b) Soit encore $C$ un point du cercle, tel que $|AC|<|OA|$ . La perpendiculaire à $OC$ par $A$ recoupe le cercle en $C^\prime$ . Le quadrilatère $OACC^\prime$ est-il (i) un trapèze ? (ii) un parallélogramme ? (iii) un losange ? (iv) un rectangle ? (v) un carré ? Justifier.

(c) Pour quelle mesure de l'angle $\widehat{ACC^\prime}$ le quadrilatère $OACC^\prime$ a-t-il une aire de $r^2/2$ ?

Solution officielle :

(a) Les segments $[OA]$ , et $[OB]$ sont des rayons et on sait que $[OA]$ et $[AB]$ ont la même longueur. Ainsi

$ |OA|=|AB|=|OB|=r \qquad\qquad (1) $

Le triangle $OAB$ est dès lors équilatéral et sa hauteur $AB^\prime$ est aussi une médiatrice; celle du segment $[OB]$ . Le point $B^\prime$ appartenant à cette médiatrice, $|OB^\prime|=|BB^\prime|$ et, par (1), $|BB^\prime|=r$ . Le quadrilatère $OABB^\prime$ est donc un losange. Le triangle $OAB$ étant équilatéral, $|\widehat{OAB}|=60^\circ$ et le quadrilatère $OABB^\prime$ n'est pas un rectangle (et donc pas un carré).

(b) Puisque $|AC|<|OA|$ , le quadrilatère n'est pas un losange (et donc pas un carré). De plus, les diagonales sont perpendiculaires et donc il n'est pas non plus un parallélogramme (et donc pas un rectangle).

Les triangles $AOC$ et $COC^\prime$ sont isocèles en $O$ puisque $|OA|=|OC|=|OC^\prime|=r$ et donc $|\widehat{OAC}|<90^\circ$ . Un rayon perpendiculaire à une corde la coupant en son milieu, $|\widehat{AOC}|=|\widehat{COC^\prime}|$ et

$ |\widehat{OAC}|=|\widehat{OCA}|=|\widehat{OCC^\prime}|=|\widehat{OC^{\prime}C}| $

L'amplitude de l'angle entre deux côtés opposés est donc $2|\widehat{OAC}|<180^\circ$ et ceux-ci ne sont donc pas parallèles; le quadrilatère $OACC^\prime$ n'est dès lors pas un trapèze.

Puisque ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent au milieu de l'une d'elles, c'est un cerf-volant.

(c) L'aire d'un cerf-volant s'obtenant en prenant la moitié du produit de ses diagonales $D$ et $d$ , il faut que $Dd=r^2$ . La diagonale $[OC]$ mesurant $r$ , $[AC^\prime]$ mesure elle aussi $r$ . Ainsi $OAC^\prime$ est équilatéral et $|\widehat{OAC^\prime}|=60^\circ$ et par symétrie $|\widehat{AOC}|=|\widehat{COC^\prime}|=30^\circ$ . Au point précédent, on a vu que les triangles $AOC$ et $COC^\prime$ sont isocèles, et donc

$ |\widehat{OAC}|=|\widehat{OCA}|=|\widehat{OCC^\prime}|=|\widehat{OC^{\prime}C}|=75^\circ $

et l'angle $\widehat{ACC^\prime}$ mesure $150^\circ$ .

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