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OMB 2012 Finale MINI Question 3 - Solution officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2012 Finale MINI Question 3 - Solution officielle
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Question :

Justin souhaite fixer cinq documents rectangulaires (de dimensions quelconques), éventuellement superposés, partiellement ou totalement, à un tableau métallique rectangulaire en plaçant des aimants, cela de sorte que chacun des documents soit coincé entre le tableau et trois aimants au moins.

(a) Dans le cas de la disposition suivante des cinq documents, combien d'aimants doit-il utiliser au minimum ?



(b) Quel est le plus petit nombre d'aimants qui permettra de fixer toute configuration de cinq documents ? Donner un exemple de configuration de cinq documents qui requiert ce nombre minimal d'aimants.

(c) Existe-t-il une configuration de cinq documents pour laquelle le plus petit nombre d'aimants requis est huit ?



Solution officielle :


(a) Les 5 documents peuvent être fixés à l'aide de 9 aimants, comme indiqué sur la figure suivante.



Pour prouver que 9 est bien le nombre minimum d'aimants, il suffit de remarquer que 3 documents (le plus à gauche, le plus à droite et celui du bas) sont totalement disjoints. Ils nécessitent donc chacun minimum 3 aimants.

(b) Toute configuration pourra toujours être fixée à l'aide de 15 aimants, en mettant 3 aimants par document. Dans le cas d'une configuration où les 5 documents sont tous disjoints, il n'est pas possible de fixer les documents avec moins de 15 aimants.

(c) La configuration suivante peut être fixée à l'aide de 8 aimants.



Prouvons que cette configuration ne peut être fixée à l'aide de 7 aimants. Nous pouvons considérer, sans perte de
généralité, que tous les aimants sont placés sur les intersections entre les différents documents.

Tout d'abord, remarquons qu'une intersection ne peut rester vide. En effet, si une intersection ne contient pas d'aimant, alors 6 aimants sont nécessaires pour fixer les deux documents formant cette intersection. L'un des 3 documents restants est obligatoirement disjoint des deux de départ, et donc nécessite 3 aimants supplémentaires, soit 9 aimants au total, ce qui est impossible. Chaque intersection contient donc au minimum un aimant.

Supposons que chaque intersection contienne un aimant, et regardons comment placer les 2 aimants restants. Vu que les 5 intersections forment un cycle, quel que soit le placement des 2 derniers aimants, il restera toujours deux intersections consécutives ne contenant qu'un seul aimant chacune, et donc un document fixé par seulement 2 aimants. Le nombre de 8 aimants est donc bien minimum.



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Anonyme
Posté le : 23/2/2016 18:24  Mis à jour : 23/2/2016
C'est tout à fait possible(c)
Voir solution officielle
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