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OMB 2012 Finale MINI Question 4 - Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2012 Finale MINI Question 4 - Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud
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Question :

Johan, plus âgé que Fabrice, remarque qu’en permutant les deux chiffres de son âge, il obtient celui de Fabrice. Ce dernier, quant à lui, observe que la différence entre les carrés de leurs âges est le carré d’un naturel non nul. Quels sont leurs âges respectifs ?



Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud :


Soient le chiffre des dizaines de l'âge de Johan et le chiffre des unités de son âge. On sait donc immédiatement que, pour Fabrice, est le chiffre des dizaines et le chiffre des unités de son âge. Johan a donc ans tandis que Fabrice a ans. D'après le problème, on a alors




c'est-à-dire, après réduction,



On sait également que et , donc . D'après (1), et pusique , ou doit être un multiple de 11. L'unique possibilité est évidemment (l'autre possibilité est , c'est-à-dire , et donc Johan et Fabrice auraient le même âge ce qui contredit l'énoncé). De l'égalité , on déduit le tableau suivant




Envisageons les différentes possibilités pour (1) :

et : qui n'est pas un carré parfait.

et : qui n'est pas un carré parfait.

et : qui n'est pas un carré parfait.

et :

L'unique possibilité est donc et . Johan a donc 65 ans et Fabrice a 56 ans.



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