OMB - OMB 2012 Finale MINI Question 4 - Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud

OMB 2012 Finale MINI Question 4 - Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud

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Question :

Johan, plus âgé que Fabrice, remarque qu’en permutant les deux chiffres de son âge, il obtient celui de Fabrice. Ce dernier, quant à lui, observe que la différence entre les carrés de leurs âges est le carré d’un naturel non nul. Quels sont leurs âges respectifs ?

Solution de Damien Galant et Jérôme Rigaud :

Soient $d$ le chiffre des dizaines de l'âge de Johan et $u$ le chiffre des unités de son âge. On sait donc immédiatement que, pour Fabrice, $u$ est le chiffre des dizaines et $d$ le chiffre des unités de son âge. Johan a donc $(10d+u)$ ans tandis que Fabrice a $(10u+d)$ ans. D'après le problème, on a alors

$ d > u \qquad {\rm et}\qquad (10d+u)^2-(10u+d)^2 = n^2 \qquad \qquad (n \in \mathbb{N}) $

c'est-à-dire, après réduction,

$ 99(d^2-u^2)=n^2 \ \Leftrightarrow\ 99(d-u)(d+u)=n^2 \qquad\qquad (1) $

On sait également que $0 \leq d \leq 9$ et $0 \leq u \leq 9$ , donc $d+u \leq 18$ . D'après (1), et pusique $99=3^2\cdot 11$ , $d-u$ ou $d+u$ doit être un multiple de 11. L'unique possibilité est évidemment $d+u=11$ (l'autre possibilité est $d-u=0$ , c'est-à-dire $d=u$ , et donc Johan et Fabrice auraient le même âge ce qui contredit l'énoncé). De l'égalité $d+u=11$ , on déduit le tableau suivant

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline d & u & d-u \\ \hline 9 & 2 & 7\\ 8 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 3\\ 6 & 5 & 1\\\hline \end{array} $

Envisageons les différentes possibilités pour (1) :

• $d=9$ et $u = 2$ : $\qquad\qquad 99\cdot 7 \cdot 11 = 3^2 \cdot 7 \cdot 11^2 \qquad$ qui n'est pas un carré parfait.

• $d=8$ et $u = 3$ : $\qquad\qquad 99\cdot 5 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11^2\qquad$ qui n'est pas un carré parfait.

• $d=7$ et $u = 4$ : $\qquad\qquad 99\cdot 3 \cdot 11 = 3^3 \cdot 11^2\qquad$ qui n'est pas un carré parfait.

• $d=6$ et $u = 5$ : $\qquad\qquad 99\cdot 1 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11^2 = 33^2 = 1089$

L'unique possibilité est donc $d=6$ et $u=5$ . Johan a donc 65 ans et Fabrice a 56 ans.

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