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OMB 2012 Finale MIDI Question 1 - Solution officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2012 Finale MIDI Question 1 - Solution officielle
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Question :

Soit et des entiers qui diffèrent d'un multiple de .

(a) Le nombre est-il toujours somme de deux carrés d'entiers ?

(b) Est-il toujours somme de trois carrés d'entiers ?



Solution officielle :


(a) Dans le cas où et (leur différence est bien un multiple de trois), le nombre vaut 14. Les seuls carrés d'entiers inférieurs à 14 sont , , et . Si 14 peut s'écrire comme somme de deux carrés, alors l'un d'entre eux est nécessairement 9 car . Mais et n'est pas un carré. Cela montre donc que le nombre n'est pas toujours une somme de deux carrés.

(b) Si est un multiple de 3, alors il existe un entier tel que . En remplaçant par dans l'expression , on obtient




Cela montre que le nombre peut toujours s'écrire comme une somme de trois carrés d'entiers.



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