OMB - OMB 2012 Finale MIDI Question 1

OMB 2012 Finale MIDI Question 1 - Solution officielle

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Question :

Soit $a$ et $b$ des entiers qui diffèrent d'un multiple de $3$ .

(a) Le nombre $\frac23(a^2+ab+b^2)$ est-il toujours somme de deux carrés d'entiers ?

(b) Est-il toujours somme de trois carrés d'entiers ?

Solution officielle :

(a) Dans le cas où $a=1$ et $b=4$ (leur différence est bien un multiple de trois), le nombre $\frac{2}{3}(a^2 + ab +b^2)$ vaut 14. Les seuls carrés d'entiers inférieurs à 14 sont $0^2 = 0$ , $1^2 = 1$ , $2^2 = 4$ et $3^2 = 9$ . Si 14 peut s'écrire comme somme de deux carrés, alors l'un d'entre eux est nécessairement 9 car $4+4<14$ . Mais $14 = 9 + 5$ et $5$ n'est pas un carré. Cela montre donc que le nombre $\frac{2}{3}(a^2 + ab + b^2)$ n'est pas toujours une somme de deux carrés.

(b) Si $a-b$ est un multiple de 3, alors il existe un entier $n$ tel que $a-b = 3n$ . En remplaçant $a$ par $b+3n$ dans l'expression $\frac{2}{3}(a^2 + ab + b^2)$ , on obtient

$\frac{2}{3}(a^2 + ab + b^2) = \frac{2}{3}((b+3n)^2 + b(b+3n) + b^2) = 2b^2 + 6bn + 6n^2 = (b+2n)^2 + (b+n)^2 + n^2$

Cela montre que le nombre $\frac{2}{3}(a^2 + ab + b^2)$ peut toujours s'écrire comme une somme de trois carrés d'entiers.

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