Augustin, Bérénice, Coralie et Damien choisissent des nombres non nécessairement distincts , , et puis se les communiquent les uns aux autres. Ils constatent que les nombres de choix de , de , de et de valent justement , , et (mais pas nécessairement dans cet ordre). Quelles sont toutes les listes compatibles avec ces informations ?

Basons la preuve sur le nombre de apparaissant dans le quadruple .
Les nombres , , et représentent non seulement des nombres, mais aussi les fréquences d'apparition des nombres , , et .

1. Si quatre on été choisis (et donc pas de ), la fréquence doit apparaitre ce qui constitue une contradiction.

2. Si exactement trois ont été choisis, la fréquence doit apparaitre. Le quadruple est donc . Mais les fréquences correspondantes étant , on obtient une contradiction.

3. Si exactement deux ont été choisis, la fréquence doit apparaitre. Le nombre apparait donc une ou deux fois.

(a) Si apparait une fois, est une fréquence et doit donc apparaitre aussi. Le quadruple est ainsi et les fréquences sont ; une contradiction.

(b) Si apparait deux fois, le quadruple est et les fréquences sont . Cela nous fournit une solution.

4. Si exactement un a été choisi, la fréquence doit apparaitre. Le nombre apparait donc une, deux ou trois fois.

(a) S'il apparait trois fois, le quadruple est et les fréquences sont ; une contradiction.

(b) S'il apparait exactement deux fois, la fréquence apparait. Le quadruple est donc et les fréquences sont . On obtient ainsi une solution.

(c) S'il apparait exactement une fois, le nombre est à la fois la fréquence d'apparition du et du ; une contradiction.

5. Si aucun n'a été choisi, sa fréquence est et il doit donc apparaitre; une contradiction.