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OMB 2006 Finale MINI Question 4 - Solution officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2006 Finale MINI Question 4 - Solution officielle
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Question :

On désire paver un rectangle en utilisant uniquement des pièces identiques à celles dessinées ci-dessous, formées de petits carrés de dimension .



Ce pavage doit s'effectuer sans laisser de trou dans le rectangle et sans superposer deux pièces.

Ce pavage est-il possible si les dimensions du rectangle sont

(a) ?

(b) ?

(c) ?

(d) et sont des naturels supérieurs à ?



Solution officielle :


Le pavage est possible pour toute valeur de et de (et donc (a), (b), (c) et (d) sont vrais).

La pièce carrée nous permet de paver tous les rectangles avec et pairs.

La seconde pièce permet d'obtenir un rectangle , ce qui permet de paver tous les rectangles dont au moins un des côtés est pair.



En effet, l'ajout d'un ou plusieurs carrés à droite de ce rectangle permet d'obtenir tous les rectangles du type avec impair.

De plus, la répétition verticale d'un pavage donne un pavage .

Nous pouvons donc paver tous les rectangles avec pair et quelconque, et par symétrie, tous les rectangles avec quelconque et pair.

Il reste à considérer les rectangles avec et impairs. Par un raisonnement similaire, s'il est possible de paver un rectangle , tous les rectangles de côtés impairs le seront également. Voici un tel pavage :



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