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OMB 2006 Finale MAXI Question 1 - Solution officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2006 Finale MAXI Question 1 - Solution officielle
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Question :

On désire paver un rectangle en utilisant uniquement des pièces identiques à celles dessinées ci-dessous formées de petits carrés de dimension .



Ce pavage doit s'effectuer sans laisser de trou dans le rectangle et sans superposer deux pièces.

Ce pavage est-il possible si le rectangle est de dimension

(a) ?

(b) ?

(c) et sont des naturels supérieurs à ?



Solution officielle :


De façon évidente, le pavage n'est possible que pour des valeurs de et de .

La pièce carrée nous permet de paver tous les rectangles avec et pairs.

La seconde pièce permet d'obtenir un rectangle , ce qui permet de paver tous les rectangles dont au moins un des côtés est pair.


En effet, l'ajout d'un ou plusieurs carrés à droite de ce rectangle permet d'obtenir tous les rectangles du type avec impair. De plus, la répétition verticale d'un pavage donne un pavage . Nous pouvons donc paver tous les rectangles avec pair et quelconque, et par symétrie, tous les rectangles avec quelconque et pair.

Il reste à considérer les rectangles avec et impairs. La figure suivante montre le pavage d'un rectangle .

Par un raisonnement similaire, l'ajout d'un rectangle à droite permet d'obtenir tous les rectangles du type avec impair . De même, l'ajout vertical d'un pavage permet de construire tout rectangle avec et impairs, .

En reprenant tous les résultats et l'argument de symétrie du problème, nous sommes en mesure de paver tout rectangle tq excepté pour .

Prouvons maintenant qu'un rectangle ne peut être pavé. Vu qu'un tel rectangle contient 9 carrés , il ne peut être pavé que par la seconde pièce qui est la seule à en contenir 3.

Nous ne pouvons placer une pièce de ce type dans un coin du carré que de deux manière, comme indiqué sur la figure. La première manière engendre un espace vide ne pouvant être comblé. Toutes les pièces doivent donc être placées de la seconde manière, ce qui engendre évidemment des recouvrements.

Au final, nous avons que :
(a) est vrai
(b) est faux
(c) est vrai sauf si



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