| OMB 2012 Finale MIDI Question 3 - Solution officielle |
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Question :
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Un hexagone  est dit sympa s'il est inscrit à un cercle et que les bissectrices des angles  ,  et  passent toutes trois par le centre  de ce cercle.
(a) Prouver que, si est sympa, alors  .
(b) Existe-t-il des hexagones sympas non réguliers ? Si oui, construire une figure en montrant un. (Expliquer la construction effectuée.)
(c) Démontrer que les trois grandes diagonales  ,  et  d'un hexagone sympa sont concourantes.
(d) Soit  ,  et  trois points non alignés. Construire (« à la règle et au compas ») trois points  ,  et  tels que l'hexagone soit sympa.
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Solution officielle :
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Figure 1
(a) Comme  ,  et  sont trois rayons du cercle,  ; donc, les triangles  et  sont isocèles; il en résulte que  et que  . Dès lors,
Il se démontre évidemment de même que  et que  .
Remarque :
La réciproque est vraie : si les angles  et  sont égaux, alors  et  le sont aussi, autrement dit  est la bissectrice de l'angle ; ceci se justifie soit en reprenant « dans l'autre sens » le calcul précédent, soit en utilisant l'isométrie des triangles  et  .
(b) Il en existe: la figure 1 en montre un. Elle a été obtenue de la manière suivante : un point ayant été choisi sur un cercle de centre , les rayons , ...,  ont été construits de manière que  ,  et  , ces trois angles ayant été choisis pour avoir une somme de  . Que l'hexagone ainsi construit soit sympa résulte de la remarque précédente.
(c)
- Première preuve :
Comme ,  ,
et  est la bissectrice de l'angle en du triangle  ; de même,  et  sont respectivement les bissectrices des angles en et en . Par suite, les droites , et sont concourantes, car elles sont les trois bissectrices dans le triangle .
Figure 2
- Seconde preuve :
Un autre argument est d'observer (Figure 3) que
 = \frac12\!\left(\widehat{FOA}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}\right) = \frac14\!\left(\widehat{EOA}+\widehat{AOC}+\widehat{COE}\right) = 90^\circ.)
Donc, les droites et  sont perpendiculaires ; autrement dit, est une hauteur du triangle  . Il en va de même de et de , et ces droites sont donc concourantes.
Figure 3
(d) Analyse :
Si ces points existent, les droites , et de sont, nous venons de le montrer, les hauteurs du triangle .
Donc, ne peut être que le point où la hauteur issue de , dans le triangle , recoupe le cercle circonscrit. Et de manière analogue pour et .
Figure 4
Synthèse :
Soit le centre du cercle circonscrit au triangle . Les points , et étant construits comme indiqué, nous avons d'une part ) , et d'autre part
) ; donc . De la même manière,  et  , et, selon la remarque du (a), l'hexagone est sympa.
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| Anonyme |
Posté le : 20/3/2014 13:54 Mis à jour : 20/3/2014 |
je trouve ca très très dur de savoir comment faire pour démontrer. Moi je connais toutes les formules.... mais je ne sais pas par quoi commencer pour prouver qqch  |
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