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OMB 2012 Finale MIDI Question 3 - Solution officielle Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2012 Finale MIDI Question 3 - Solution officielle
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Question :

Un hexagone est dit sympa s'il est inscrit à un cercle et que les bissectrices des angles , et passent toutes trois par le centre de ce cercle.

(a) Prouver que, si est sympa, alors .

(b) Existe-t-il des hexagones sympas non réguliers ? Si oui, construire une figure en montrant un. (Expliquer la construction effectuée.)

(c) Démontrer que les trois grandes diagonales , et d'un hexagone sympa sont concourantes.

(d) Soit , et trois points non alignés. Construire (« à la règle et au compas ») trois points , et tels que l'hexagone soit sympa.



Solution officielle :



Figure 1


(a) Comme , et sont trois rayons du cercle, ; donc, les triangles et sont isocèles; il en résulte que et que . Dès lors,



Il se démontre évidemment de même que et que .

Remarque :
La réciproque est vraie : si les angles et sont égaux, alors et le sont aussi, autrement dit est la bissectrice de l'angle ; ceci se justifie soit en reprenant « dans l'autre sens » le calcul précédent, soit en utilisant l'isométrie des triangles et .

(b) Il en existe: la figure 1 en montre un. Elle a été obtenue de la manière suivante : un point ayant été choisi sur un cercle de centre , les rayons , ..., ont été construits de manière que , et , ces trois angles ayant été choisis pour avoir une somme de . Que l'hexagone ainsi construit soit sympa résulte de la remarque précédente.

(c)
- Première preuve :
Comme , ,
et est la bissectrice de l'angle en du triangle ; de même, et sont respectivement les bissectrices des angles en et en . Par suite, les droites , et sont concourantes, car elles sont les trois bissectrices dans le triangle .


Figure 2


- Seconde preuve :
Un autre argument est d'observer (Figure 3) que



Donc, les droites et sont perpendiculaires ; autrement dit, est une hauteur du triangle . Il en va de même de et de , et ces droites sont donc concourantes.


Figure 3


(d) Analyse :
Si ces points existent, les droites , et de sont, nous venons de le montrer, les hauteurs du triangle .
Donc, ne peut être que le point où la hauteur issue de , dans le triangle , recoupe le cercle circonscrit. Et de manière analogue pour et .


Figure 4


Synthèse :
Soit le centre du cercle circonscrit au triangle . Les points , et étant construits comme indiqué, nous avons d'une part , et d'autre part
; donc . De la même manière, et , et, selon la remarque du (a), l'hexagone est sympa.



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Anonyme
Posté le : 20/3/2014 13:54  Mis à jour : 20/3/2014
je trouve ca très très dur de savoir comment faire pour démontrer. Moi je connais toutes les formules.... mais je ne sais pas par quoi commencer pour prouver qqch
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