OMB - OMB 2012 Finale MAXI Question 1

OMB 2012 Finale MAXI Question 1 - Solution officielle

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Question :

Soit un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ .

(a) Si ce parallélépipède est un cube, que vaut l'amplitude de l'angle $\widehat{FCH}$ ?

(b) Les longueurs des arêtes de ce parallélépipède peuvent-elles être choisies de manière que l'angle $\widehat{FCH}$ mesure $45^\circ$ ?

(c) Quelles sont toutes les valeurs que peut prendre l'amplitude de l'angle $\widehat{FCH}$ ?

Solution officielle :

(a) Si le parallélipipède est un cube, toutes les faces sont des carrés isométriques. Or $[HF]$ , $[FC]$ et $[CH]$ sont des diagonales de faces du cube. Donc $|HF|=|FC|=|CH|$ et le triangle $FCH$ est équilatéral. Ainsi $\widehat{FCH}=60^\circ$ .

(b) Comme la figure est un parallélipipède rectangle, nous pouvons poser $|AD|=|BC|=|EH|=|FG|=a$ , $|AE|=|BF|=|CG|=|DH|=b$ et $|AB|=|DC|=|EF|=|HG|=c$ . Les triples $(a,b,c)$ ainsi obtenus sont tous des triples de réels positifs. Posons aussi $\widehat{FCH}=\alpha$ . Par le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles $EFH$ , $BCF$ et $CGH$ nous obtenons $|HF|=\sqrt{a^2+c^2}$ , $|FC|=\sqrt{a^2+b^2}$ et $|HC|=\sqrt{b^2+c^2}$ . D'autre part, le théorême d'Al Kashi (ou Pythagore généralisé) donne dans le triangle $FCH$

$|FH|^2=|FC|^2+|HC|^2-2\,|FC|\,|HC|\,\cos\alpha.$
Nous déduisons
$a^2+c^2=a^2+b^2+b^2+c^2-2\,\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)\, \left(\sqrt{b^2+c^2}\right)\,\cos\alpha$
ou encore
$2\,b^2=2\,\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)\, \left(\sqrt{b^2+c^2}\right)\,\cos\alpha. \qquad (1)$
Pour avoir comme demandé dans l'énoncé $\alpha=45^\circ$ , il est nécessaire et suffisant d'avoir $\cos\alpha=\sqrt2/2$ . Ceci impose
$b^2=\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)\, \left(\sqrt{b^2+c^2}\right)\,\frac{\sqrt2}2$
ou en élevant au carré
$2\,b^4=(a^2+b^2)\,(b^2+c^2).$
L'angle $\alpha$ ne change pas d'amplitude si nous remplaçons $a$ , $b$ et $c$ par des valeurs proportionnelles. Nous pouvons donc faire par exemple $b=1$ . Nous voulons alors
$2=(a^2+1)\,(1+c^2)$
ou
$1=a^2+c^2+a^2\,c^2,$
c'est-à-dire
$a^2=\frac{1-c^2}{1+c^2}.$
Tout choix d'une valeur de $c$ entre 0 et 1 livrera une valeur convenable de $a$ . Par exemple, en choisissant $c=1/2$ , nous avons
$a^2=\frac{3/4}{5/4}.$
Finalement, en prenant $b=1$ , $c=1/2$ et $a=\sqrt{3/5}$ , nous obtenons $\alpha=45^\circ$ .

(c) À partir de l'égalité (1) ci-dessus, nous avons
$\cos\alpha=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{b^2+c^2}}.$
Ceci implique $1 > \cos\alpha >0$ (car $a$ , $b$ et $c$ sont non nuls ; notons que le dénominateur, égal à $\sqrt{b^4 + m}$ avec $m>0$ est strictement plus grand que le numérateur). Comme $\alpha$ est l'angle d'un triangle, il faut $\alpha \in ]0^\circ,180^\circ[$ ; les inégalités précédentes donnent de plus $\alpha\in{]0^\circ;90^\circ[}$ . D'autre part, toutes les valeurs de ce dernier intervalle sont prises par $\alpha$ , car $\cos\alpha$ prend toutes les valeurs entre 1 et 0. Justifions ceci en prenant $b=1$ et $a=c$ . Nous avons alors
$\cos\alpha=\frac{1}{1+c^2}.$
Pour $c>0$ , la quantité $\frac{1}{1+c^2}$ dépend de manière continue et décroissante de $c$ et tend vers $1$ si $c$ tend vers 0, vers 0 si $c$ tend vers l'infini. Elle prend donc toutes les valeurs entre 1 et 0 quand c varie de 0 à l'infini sans atteindre ces deux valeurs limites.

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