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OMB 2012 Finale MAXI Question 2 - Solution de Sophie Peng-Casavecchia Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2012 Finale MAXI Question 2 - Solution de Sophie Peng-Casavecchia
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Question :

Soit l'équation en les inconnues , , , qui sont des nombres premiers.

(a) En donner une solution.

(b) Montrer que, dans chacune de ses solutions, , et sont distincts.

(c) Donner toutes ses solutions.



Solution de Sophie Peng-Casavecchia :


(a) est une solution. En effet, .

(b) Considérons l'équation



Montrons par l'absurde que , et sont nécessairement distincts. L'équation est symétrique, on peut donc supposer sans perte de généralité que . On a alors alors


Or, est un entier (somme d'entiers), on en déduit que divise . Cependant, les seuls diviseurs de sont et , donc premier ne peut pas diviser . On obtient donc une contradiction, et , , sont nécessairement distincts.

(c) On a









Puisque est le seul nombre premier pair, au moins deux des nombres , , sont impairs (puisque , et sont distincts). Donc au moins deux des nombres , , sont pairs. Le produit est donc pair, ainsi est pair.
Parmi , et , il y a donc un ou trois nombre(s) pair(s) (il faut un nombre pair d'impairs pour avoir une somme paire). Le deuxième cas est à éliminer car il n'y a qu'un seul nombre premier pair : . Parmi , et , il y a donc un nombre pair, et ce nombre est .
Supposons sans perte de généralité que . Alors
















Comme , on a nécessairement , soit divise .
Les diviseurs entiers de sont .
Les valeurs possibles pour sont donc .
Or est premier, donc .
D'après (2), on a .
Les solutions sont donc et toutes les permutations du triplet (l'équation (1) étant symétrique). Le calcul effectué en (2) assure que tous ces triplets vérifient l'équation (1).
Donc .



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