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OMB 2012 Finale MAXI Question 3 - Solution de Adrien Vandenschrick Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2012 Finale MAXI Question 3 - Solution de Adrien Vandenschrick
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Question :

Dans une salle de spectacle se trouvent 20 rangées de 12 fauteuils chacune, les fauteuils formant aussi 12 colonnes. Lorsqu'ils prennent place, les spectateurs s'assoient toujours de sorte à former dans chaque rangée un intervalle (c'est-à-dire que les sièges d'une rangée entre deux sièges occupés sont eux-mêmes tous occupés). Une fois les spectateurs assis, on compte pour chaque colonne le nombre de sièges qui y sont occupés, ce qui fournit une liste de 12 naturels. Les listes de nombres naturels qui sont obtenues de cette manière sont dites réalisables.

(a) La liste est-elle réalisable ? Et la liste ?

(b) Toute liste de 12 nombres naturels tous inférieurs à 5 est-elle réalisable ?

(c) Quel est le plus grand nombre naturel tel que toute liste de 12 nombres naturels tous compris entre 0 et est réalisable ?

(d) Quel est le plus petit nombre naturel tel que toute liste de 12 nombres naturels tous compris entre et 20 est réalisable ?

(e) Donner un test (portant uniquement sur les 12 nombres ) permettant de déterminer si une liste est réalisable ou non.



Solution de Adrien Vandenschrick :


Introduisons d'abord la notion de partie positive d'un réel (et la notation pour la désigner) :




(e) Remplissons les colonnes les unes après les autres en commençant par une extrémité.
Pour remplir la première colonne, nous utilisons rangées.
Pour la deuxième, si , nous réutilisons des rangées parmi celles-là (car il faut les économiser) ; si , en plus de réutiliser ces rangées, nous devons en utiliser nouvelles. Ainsi nous aurons utilisé, dans tous les cas, nouvelles rangées.
Pour la troisième colonne, si , nous réutilisons des rangées parmi les rangées dont le 2e siège est occupé ; si , en plus de réutiliser ces rangées, nous devons en utiliser nouvelles (il est interdit de réutiliser des rangées dont le 1er siège est occupé mais pas le 2e, car cela créerait des « trous ». Ainsi nous aurons utilisé, dans tous les cas, nouvelles rangées.

Nous procédons de la même manière pour les colonnes restantes. Ceci montre que pour placer tous les spectateurs,



rangées sont nécessaires, mais aussi suffisantes. Or nous en avons . Il faut et il suffit donc que le nombre soit inférieur à . Remarquons ce ce nombre s'exprime encore







En utilisant ce critère, les autres questions se résolvent de manière immédiate :

(a)La première est réalisable mais la seconde ne l'est pas.

(b) Non. La liste est un contrexemple.

(c) Alors, pour tous , entre et , et par suite , d'après la dernière expression de . Ainsi, convient. Par contre, ne convient pas : la liste est un contrexemple.

(d) Il est clair que convient. D'autre part, il existe des listes dont tous les termes sont supérieurs à et qui ne sont pas réalisables, par exemple


donc ne convient pas.



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