| OMB 2012 Finale MAXI Question 4 - Solution de Simon Tihon |
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Question :
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Un disque ouvert (c'est-à-dire sans son bord) de rayon 1 est partagé en régions ouvertes par deux droites.
(a) Si les deux droites sont parallèles, existe-t-il toujours un disque ouvert de rayon 1/3 qui est entièrement contenu dans l'une de ces régions ?
(b) Si les deux droites sont perpendiculaires, existe-t-il toujours un disque ouvert de rayon 1/3 qui est entièrement contenu dans l'une de ces régions ?
(c) Existe-t-il toujours un disque ouvert de rayon 1/3 qui est entièrement contenu dans l'une de ces régions, quelle que soit la position des deux droites ? |
Solution de Simon Tihon :
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(a) Traçons le cercle de centre  et deux droites verticales  et  qui découpent le diamètre perpendiculaire en trois parties égales (il n'est pas restrictif de supposer et verticales). Traçons aussi les tangentes parallèles à ces droites. Comme la distance entre et chacune des droites et vaut  , le disque ouvert de centre et de rayon ne rencontre pas ces droites et répond à la question. Si à présent est déplacée vers la droite ou vers la gauche, il y aura encore plus de place entre elles. Si au contraire est déplacée vers la droite, alors la distance entre elle et la tangente parallèle située du même côté augmente au-delà de  . On pourra alors placer un disque de rayon entre cette droite et cette tangente (avec son centre sur la droite horizontale de la figure), qui sera contenu dans le disque donné. Même chose à droite si est déplacée vers la gauche.
(b) Soit et les deux droites perpendiculaires, une verticale, l'autre horizontale. La façon d'obtenir que la plus grande des quatre parties que et découpent soit la plus petite possible est que et se coupent en comme sur le dessin. En effet, si est déplacée vers la gauche (resp. droite), alors les aires 2 et 3 (resp. 1 et 4) grandissent (et cela même si ne passe pas par ). Un raisonnement semblable vaut pour . Il suffit donc de raisonner dans le cas de la figure.
Soit  le point milieu du rayon bissecteur  de et situé dans la partie 2. Ainsi  . Soit  le pied de la perpendiculaire abaissée de sur . Le triangle  est isocèle et rectangle. Par le théorème de Pythagore,  c'est-à-dire  . Donc  . Nous concluons que la distance entre et (ou ) est plus grande que . C'est vrai aussi pour la distance entre et le cercle donné (car  ). Le disque de centre et de rayon est donc contenu dans la région 2.
(c) En faisant tourner la figure, nous pouvons supposer que la droite est horizontale et située plus bas que le centre du cercle. Raisonnons selon la distance de à .
Si cette distance est au moins  (dans la figure, la distance vaut ), considérons les trois disques dessinés, de rayon et de centres situés à la distance de , soit sur l'horizontale par , soit la verticale par . Pour qu'aucun de ces trois disques ne réponde à la question, il faudrait que la droite les rencontre tous les trois, mais ceci est clairement impossible. Nous avons donc une solution.
Ensuite, supposons que la distance de à est entre  et . Considérons alors (comme dans la figure) les trois disques de rayon et de centres situés à la distance de , soit sur la verticale par , soit sur les droites par inclinées à  . Il est impossible que la droite rencontre ces trois disques, donc au moins un des trois disques répond à la question.
Remarque : les arguments donnés au (c) conviennent bien sûr aussi aux (a) et (b). |
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