OMB - OMB 2008 Finale MAXI Question 2 - Solution de Nicolas Radu

OMB 2008 Finale MAXI Question 2 - Solution de Nicolas Radu

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Question :

Déterminer toutes les fonctions $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ satisfaisant les deux conditions
1) quel que soit le réel $x$ , on a $f(x)\leq x$ ;
2) quels que soient les réels $x$ et $y$ , on a $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ .

Solution de Nicolas Radu :

Nous avons
$f(x+y) \le f(x) + f(y)$ (1)

Et, en prenant $x+y$ et $-y$ comme réels :
$f((x+y)+(-y)) \le f(x+y) + f(-y)$
$\Leftrightarrow f(x) \le f(x+y) + f(-y)$ (2)

Sommons les inégalités (1) et (2) membre à membre :
$f(x+y) + f(x) \le f(x) + f(y) + f(x+y) + f(-y)$
$\Leftrightarrow 0 \le f(y) + f(-y)$

Or, nous avons par hypothèse que $f(y) \le y$ et $f(-y) \le -y$ , ce qui donne
$0 \le f(y) + f(-y) \le 0$

Il faut donc avoir les cas d'égalités, c'est à dire $f(y) = y$ et $f(-y) = -y$ pour tout $y$ réel.
La seule fonction possible est donc $f(x) = x$ , qui respecte bien les conditions de départ.

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Anonyme	Posté le : 4/8/2009 9:58 Mis à jour : 4/8/2009
proposition de solution hicham (maroc): f(x)=<x f(x+y)=<f(x)+f(y) est équivalent à: (1) f(x)=x f(x+y)=<f(x)+f(y) ou bien (2) f(x)<x f(x+y)=<f(x)+f(y) pour la deuxième: en prenant x=y=0 on trouve que f(0)<0 et f(0)>=0 aucune fonction ne peut satisfaire cette condition. il nous reste la première qui donne directement f(x)=x.

Anonyme	Posté le : 5/8/2009 17:52 Mis à jour : 5/8/2009
hicham (maroc): pour ne pas bruler les étapes dans ton raisonement il faut ajouter que f(-y)=-f(y)suite à la drnière inégalité OR f(-y)=<-y donc -f(y)=<-y ainsi f(y)>=y selon l'hypothèse de base: f(y)=<y ce qui donne que f(y)=y.

Nicolas Radu	Posté le : 12/2/2011 19:54 Mis à jour : 12/2/2011
Euh, non. On a $0 \leq f(y) + f(-y) \leq y + (-y) = 0$ Ca veut dire que les inégalités utilisées ( $f(y) \leq y$ et $f(-y) \leq -y$ ) devaient être des égalités (si c'était inégalité stricte, on aurait $0 < 0$ ). Donc $f(y) = y$ .

Nicolas Radu	Posté le : 12/2/2011 19:58 Mis à jour : 12/2/2011
D'ailleurs, ta solution est fausse. Tu peux avoir $f(x) = x$ pour certains $x$ et $f(x) < x$ pour d'autres. Tu as juste montré que $f(0) = 0$ .