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OMB 2008 Finale MAXI Question 2 - Solution de Nicolas Radu Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2008 Finale MAXI Question 2 - Solution de Nicolas Radu
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Question :

Déterminer toutes les fonctions de dans satisfaisant les deux conditions
1) quel que soit le réel , on a ;
2) quels que soient les réels et , on a .



Solution de Nicolas Radu :


Nous avons
(1)

Et, en prenant et comme réels :

(2)

Sommons les inégalités (1) et (2) membre à membre :



Or, nous avons par hypothèse que et , ce qui donne


Il faut donc avoir les cas d'égalités, c'est à dire et pour tout réel.
La seule fonction possible est donc , qui respecte bien les conditions de départ.



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Anonyme
Posté le : 4/8/2009 9:58  Mis à jour : 4/8/2009
proposition de solution hicham (maroc):
f(x)=<x
f(x+y)=<f(x)+f(y)
est équivalent à:
(1)
f(x)=x
f(x+y)=<f(x)+f(y)

ou bien
(2)
f(x)<x
f(x+y)=<f(x)+f(y)

pour la deuxième: en prenant x=y=0
on trouve que f(0)<0 et f(0)>=0 aucune fonction ne peut satisfaire cette condition.
il nous reste la première qui donne directement f(x)=x.
Anonyme
Posté le : 5/8/2009 17:52  Mis à jour : 5/8/2009
hicham (maroc):

pour ne pas bruler les étapes dans ton raisonement

il faut ajouter que f(-y)=-f(y)suite à la drnière

inégalité OR f(-y)=<-y donc -f(y)=<-y ainsi f(y)>=y selon l'hypothèse de base: f(y)=<y ce qui donne que f(y)=y.
Nicolas Radu
Posté le : 12/2/2011 19:54  Mis à jour : 12/2/2011
Euh, non.
On a
Ca veut dire que les inégalités utilisées ( et ) devaient être des égalités (si c'était inégalité stricte, on aurait ). Donc .
Nicolas Radu
Posté le : 12/2/2011 19:58  Mis à jour : 12/2/2011
D'ailleurs, ta solution est fausse. Tu peux avoir pour certains et pour d'autres. Tu as juste montré que .
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