OMB - OMB 2013 Finale MIDI Question 2

OMB 2013 Finale MIDI Question 2

2970 vues | Retourner à la liste des questions

(a) Donner deux exemples où la différence des carrés de deux nombres impairs est divisible par 8.

(b) La différence des carrés de deux nombres impairs $a$ et $b$ est-elle toujours divisible par 8 ? Justifier.

(c) Donner un exemple où la différence des cubes de deux nombres impairs est divisible par 8.

(d) La différence des cubes de deux nombres impairs $a$ et $b$ est-elle toujours divisible par 8 ? Sinon, donner une condition sur $a$ et $b$ pour qu'elle le soit.

Solution(s) proposée(s) :
	Solution de Corentin Simon

Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.

Anonyme	Posté le : 25/4/2013 22:15 Mis à jour : 25/4/2013
(a) 1 et 3 : 9-1= 8 3 et 5 : 25-9 = 16 (B) soit a=(2m+1) et b=(2n+1) (2m+1)^2-(2n+1)^2 = (2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1) = 4(m-n)(m+n+1) Hors, soit (m-n) est pair, soit (m+n+1) l'est.

Anonyme	Posté le : 25/4/2013 22:22 Mis à jour : 25/4/2013
(c) 1 et 9 (ou plus simplement 1 et 1) (d) (2m+1-2n-1)((2m+1)^2+(2m+1)(2n+1)+(2n+1)^2) = 2(m-n)(4m^2+4m+1+4mn+2m+2n+1+4n^2+4n+1) Le dernier facteur est clairement impair => (m-n) doit être un multiple de 4 => a-b= un multiple de 8. Juste pour dire, pour (d) j'ai remplacé 2m+1 par m+1 sans m'en rendre compte (et heureusement). Du coup, toute mais réponse pour le (d) sont fausse.

Anonyme	Posté le : 25/4/2013 22:23 Mis à jour : 25/4/2013
C.B.

Anonyme	Posté le : 25/4/2013 22:24 Mis à jour : 25/4/2013
P.S.: "Mes" réponses et non pas "mais" réponses.

Anonyme	Posté le : 27/4/2013 1:18 Mis à jour : 27/4/2013
(d) (x-y)/8 appartient à Z

Anonyme	Posté le : 27/4/2013 8:41 Mis à jour : 27/4/2013
Je vais sûrement me répéter mais La difference de 2 cubes : (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 En remplacant par (2m+1) et (2n+1), on obtient (2m+1-2m-1)(4m^2+4m+1+4mn+2m+2n+1+4n^2+4n+1) (2m-2n)(4m^2+6m+4mn+6n+4m^2+3) On recommence la factorisation : 2(m-n)(2(2m^2+3m+2mn+3n+2n^2+1)+1)=8Z (m-n)=4Z (m-n)/4=Z En effet, le dernier facteur est clairement impair. En passant 2 dans le second membre. On n'obtient (m-n)/4=Z Par contre, si a=2m+1 et b=2(m-4z)+1 a-b=2m+1-2m+8z-1=8z

Anonyme	Posté le : 27/4/2013 8:43 Mis à jour : 27/4/2013
Tout dépend donc de ce que tu appelle x et y (dans l'énoncé il s'agit de a et b)

Anonyme	Posté le : 19/4/2016 21:20 Mis à jour : 19/4/2016
a et b) En modulo $8$ : $1^2=1$ $3^2=1$ $5^2=1$ $7^2=1$ Si on en soustrait deux quelconques, on aura toujours $0$ en modulo $8$ . On peut prendre par exemple $1001^2-999^2=8250$ . c et d) Toujours en modulo $8$ : $1^3=1$ $3^3=3$ $5^3=5$ $7^3=7$ Pour obtenir une soustraction qui vaut $0$ en modulo $8$ , le seul moyen est de prendre deux nombres congrus au même nombre, ce qui revient à dire que $a-b=0$ mod $8$ . Par exemple, on a $9^3-1^3=908$

Anonyme	Posté le : 19/4/2016 21:21 Mis à jour : 19/4/2016
$91*8$ pardon pour le c)