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OMB 2013 Finale MIDI Question 2
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(a) Donner deux exemples où la différence des carrés de deux nombres impairs est divisible par 8.

(b) La différence des carrés de deux nombres impairs et est-elle toujours divisible par 8 ? Justifier.

(c) Donner un exemple où la différence des cubes de deux nombres impairs est divisible par 8.

(d) La différence des cubes de deux nombres impairs et est-elle toujours divisible par 8 ? Sinon, donner une condition sur et pour qu'elle le soit.



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Corentin Simon


 
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu.
Anonyme
Posté le : 25/4/2013 22:15  Mis à jour : 25/4/2013
(a) 1 et 3 : 9-1= 8
3 et 5 : 25-9 = 16
(B) soit a=(2m+1) et b=(2n+1)
(2m+1)^2-(2n+1)^2
= (2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)
= 4(m-n)(m+n+1)
Hors, soit (m-n) est pair, soit (m+n+1) l'est.
Anonyme
Posté le : 25/4/2013 22:22  Mis à jour : 25/4/2013
(c) 1 et 9 (ou plus simplement 1 et 1)
(d) (2m+1-2n-1)((2m+1)^2+(2m+1)(2n+1)+(2n+1)^2)
= 2(m-n)(4m^2+4m+1+4mn+2m+2n+1+4n^2+4n+1)
Le dernier facteur est clairement impair => (m-n) doit être un multiple de 4 => a-b= un multiple de 8.

Juste pour dire, pour (d) j'ai remplacé 2m+1 par m+1 sans m'en rendre compte (et heureusement). Du coup, toute mais réponse pour le (d) sont fausse.
Anonyme
Posté le : 25/4/2013 22:23  Mis à jour : 25/4/2013
C.B.
Anonyme
Posté le : 25/4/2013 22:24  Mis à jour : 25/4/2013
P.S.: "Mes" réponses et non pas "mais" réponses.
Anonyme
Posté le : 27/4/2013 1:18  Mis à jour : 27/4/2013
(d)
(x-y)/8 appartient à Z
Anonyme
Posté le : 27/4/2013 8:41  Mis à jour : 27/4/2013
Je vais sûrement me répéter mais
La difference de 2 cubes : (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3
En remplacant par (2m+1) et (2n+1), on obtient
(2m+1-2m-1)(4m^2+4m+1+4mn+2m+2n+1+4n^2+4n+1)
(2m-2n)(4m^2+6m+4mn+6n+4m^2+3)
On recommence la factorisation :
2(m-n)(2(2m^2+3m+2mn+3n+2n^2+1)+1)=8Z
(m-n)=4Z
(m-n)/4=Z
En effet, le dernier facteur est clairement impair. En passant 2 dans le second membre. On n'obtient (m-n)/4=Z
Par contre, si a=2m+1 et b=2(m-4z)+1
a-b=2m+1-2m+8z-1=8z
Anonyme
Posté le : 27/4/2013 8:43  Mis à jour : 27/4/2013
Tout dépend donc de ce que tu appelle x et y (dans l'énoncé il s'agit de a et b)
Anonyme
Posté le : 19/4/2016 21:20  Mis à jour : 19/4/2016
a et b) En modulo :










Si on en soustrait deux quelconques, on aura toujours en modulo .

On peut prendre par exemple .

c et d) Toujours en modulo :










Pour obtenir une soustraction qui vaut en modulo , le seul moyen est de prendre deux nombres congrus au même nombre, ce qui revient à dire que mod.

Par exemple, on a
Anonyme
Posté le : 19/4/2016 21:21  Mis à jour : 19/4/2016
pardon pour le c)
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