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OMB 2013 Finale MIDI Question 3
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(a) Soit la somme des nombres entiers de 1 à 20 et la somme des nombres entiers de 21 à 40. Que vaut ?

(b) Et que vaut si et ?

(c) Si et , est-il vrai que est carré parfait quel que soit le naturel non nul ?

(d) Soit un naturel. Si et (avec naturel non nul), établir une formule exprimant en fonction de , et . Est-il vrai que est carré parfait quel que soit ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution officielle


 
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Anonyme
Posté le : 4/5/2013 23:22  Mis à jour : 4/5/2013
On applique la formule de somme sur les suites arithmétiques (avec ici une raison valant 1) pour S et S', T et T' puis N et N' et on factorise chaque différence avec une mise en évidence pour éviter du calcul mental inutile, ce qui donne :

(a) 20^2=400

(b) 2013^2

(c) n^2 => propriété vraie !

(d) N_k = (k^2-1)N - [k(k-1)N]/2

Pour établir cette formule, on calcule N_k avec la formule de somme puis on ajoute et retranche k au numérateur de la fraction [(n+1)+kn]/2, on factorise et on y arrive !

Propriété fausse : il suffit pour k quelconque >= 3 de prendre n=2 (on a alors N_k - N = 2k^2+k-6 qui admet -2 et 3/2 comme racines)

Qui peut vérifier mes résultats et raisonnements ?
Anonyme
Posté le : 5/5/2013 19:11  Mis à jour : 5/5/2013
Euh, petite faute pour (d) : N_k = (k^2-1)N - [k(k-1)n]/2
Anonyme
Posté le : 9/6/2016 8:37  Mis à jour : 9/6/2016
N'y a-t-il pas une erreur dans la définition de N_k ?
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