OMB - OMB 2013 Finale MIDI Question 3

OMB 2013 Finale MIDI Question 3

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(a) Soit $S$ la somme des nombres entiers de 1 à 20 et $S^\prime$ la somme des nombres entiers de 21 à 40. Que vaut $S^\prime-S$ ?

(b) Et que vaut $T^\prime-T$ si $T=1+2+\cdots+2013$ et $T^\prime=2014+2015+\cdots+4026$ ?

(c) Si $N=1+2+\cdots+n$ et $N^\prime=(n+1)+(n+2)+\cdots+2n$ , est-il vrai que $N^\prime-N$ est carré parfait quel que soit le naturel non nul $n$ ?

(d) Soit $k\geq2$ un naturel. Si $N=1+2+\dots+n$ et $N_k=(n+1)+(n+2)+\cdots+kn$ (avec $n$ naturel non nul), établir une formule exprimant $N_k$ en fonction de $N$ , $n$ et $k$ . Est-il vrai que $N_k-N$ est carré parfait quel que soit $n$ ?

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Anonyme	Posté le : 4/5/2013 23:22 Mis à jour : 4/5/2013
On applique la formule de somme sur les suites arithmétiques (avec ici une raison valant 1) pour S et S', T et T' puis N et N' et on factorise chaque différence avec une mise en évidence pour éviter du calcul mental inutile, ce qui donne : (a) 20^2=400 (b) 2013^2 (c) n^2 => propriété vraie ! (d) N_k = (k^2-1)N - [k(k-1)N]/2 Pour établir cette formule, on calcule N_k avec la formule de somme puis on ajoute et retranche k au numérateur de la fraction [(n+1)+kn]/2, on factorise et on y arrive ! Propriété fausse : il suffit pour k quelconque >= 3 de prendre n=2 (on a alors N_k - N = 2k^2+k-6 qui admet -2 et 3/2 comme racines) Qui peut vérifier mes résultats et raisonnements ?

Anonyme	Posté le : 5/5/2013 19:11 Mis à jour : 5/5/2013
Euh, petite faute pour (d) : N_k = (k^2-1)N - [k(k-1)n]/2

Anonyme	Posté le : 9/6/2016 8:37 Mis à jour : 9/6/2016
N'y a-t-il pas une erreur dans la définition de N_k ?

Anonyme	Posté le : 13/9/2021 11:04 Mis à jour : 13/9/2021
Manifestement, l'item d ne donne rien de particulier. Il y a probablement une erreur dans la définition de N_k. Il n'y a personne pour corriger ?