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OMB 2013 Finale MIDI Question 4
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(a) Le triangle de Reuleaux, construit à partir d'un triangle équilatéral, est la réunion de trois arcs de cercle d'amplitude (voir la figure de gauche). Montrer que sa largeur est la même dans toute direction (voir la figure du centre).



(b) Nous souhaitons former d'autres courbes de largeur constante, à partir d'un triangle dont les côtés mesurent , et en traçant six arcs de cercle comme dans la figure de droite : chaque côté du triangle est prolongé dans les deux sens ; chaque sommet devient le centre de deux arcs de cercle « de part et d'autre » dont les rayons, par exemple autour de , valent et .

   1. Pour ces valeurs de , et , montrer qu'il existe au moins un choix de valeurs de , et qui donne une courbe continue.

   2. Pour ces valeurs de , et , quels sont tous les choix de valeurs pour , et qui donnent une courbe continue ?

   3. Quel est le périmètre de la figure continue ainsi tracée ? Montrer que sa largeur est la même dans toute direction.



Solution(s) proposée(s) :
Solution de officielle


 
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Anonyme
Posté le : 25/4/2013 22:32  Mis à jour : 25/4/2013
Je trouvais cette question assez cool.
Par contre, je n'ai pas eu assez de temps.
En bref, j'ai "bien" justifié la (a), pour la (b), j'ai les réponses mais un manque cuisant de preuves. Mon périmètre aurai pu être mieux factorisée. Pour le reste, a part un grosse faute au 2d j'ai tout plus ou moins réussi.
CB
Anonyme
Posté le : 27/4/2013 20:54  Mis à jour : 27/4/2013
On utilise comme base a nos calculs que
b+x+z=c+x+y=a+y+z
(b)1/2.Si n est un naturel S={n+1;n+2;n}
3. P = 2pi/360(A(x+(c+y))+B(y+(c+x))+C(z+(b+x)))
= 2(pi)(x+c+y)(180)/360
= pi (2+n+1+n+2)
Anonyme
Posté le : 3/5/2013 18:32  Mis à jour : 3/5/2013
Rectification : n doit être un réel positif.
Anonyme
Posté le : 3/5/2013 18:36  Mis à jour : 3/5/2013
Et le périmètre peut être écrit sous la forme pi*largeur (Théorème de Barbier)
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