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OMB 2013 Finale MAXI Question 1 Informations | BxMO 2017 | SBPM  
OMB 2013 Finale MAXI Question 1
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Soit , .

(a) Si et si les nombres et sont rationnels, en est-il de même de ?

(b) Si les nombres et sont rationnels, en est-il de même de ? et de ?

(c) Si les nombres , et sont rationnels, en est-il de même de ?



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Victor Lecomte


 
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Simon Tihon
Posté le : 29/4/2013 19:00  Mis à jour : 29/4/2013
Sachant que la multiplication, la division, la soustraction et l'addition sont des opérations internes dans Q (et que x²=x*x), on a :

a) (a²-b²)/(a-b) = a+b => a+b rationnel OU a-b=0 <=> a=b, ce qui est rejeté par l'hypothèse.
b) (a+b)²-(a²+b²)=2ab => ab rationnel
(a²+b²)²-2(ab)² = a^4+b^4+2a²b²-2a²b² = a^4+b^4 => a^4+b^4 rationnel
(a+b)((a²+b²)-ab)=a³+b³ => a³+b³ rationnel
c) plus dur :
(a²+b²)²-(a^4+b^4)=2a²b² => a²b² rationnel
(a²+b²)(a^4+b^4-a²b²)=a^6+b^6 => a^6+b^6 rationnel
(a³+b³)²-(a^6+b^6)=2a³b³ => a³b³ rationnel
a³b³/a²b²=ab => ab rationnel (sauf si a ou b = 0. Sans perte de généralités, considérons a=0 => b² et b³ rationnels => b³/b²=b rationnel => a+b rationnel Ou b=0 => a+b=0 => a+b rationnel => OK)
(a³+b³)/(a²+b²-ab)=a+b => a+b rationnel (sauf si a²+b²-ab=0 <=> a²+b²=ab <=> a=0=b* <=> a+b=0 rationnel => OK)
*car si a>b, a²>ab>=ab-b². Si b>a, b²>ab>=ab-a². Si a=b, 2a²=a² <=> a=0=b
Anonyme
Posté le : 11/10/2013 17:08  Mis à jour : 11/10/2013
tros dur
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