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OMB 2013 Finale MAXI Question 2
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Une urne contient boules mauves et boules noires. Le couple d'entiers naturels est adéquat lorsque le nombre de couples de boules de couleurs différentes présents dans cette urne est égal au nombre de couples de boules distinctes mais de même couleur.

(a) Montrez que le couple est adéquat.

(b) Si , quels sont tous les couples adéquats ?

(c) Combien existe-t-il de couples adéquats ? Décrire leur ensemble.



Solution(s) proposée(s) :
Solution de Antoine Dupuis


 
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Anonyme
Posté le : 5/5/2013 22:38  Mis à jour : 5/5/2013
Pour (m,n), on aura en général d=m*n et e=m(m-1)/2 + n(n-1)/2.

(a) d=10*15=150
e=5*9+7*15=150

(b) d=e ssi 6n=15+n(n-1)/2 ssi n^2-13n+30=0 ssi n=3 ou n=10

=> (6,3) et (6,10) sont adéquats

(c) d=e ssi n^2-(2m+1)n+m(m-1)=0 ssi n=[(2m+1)+-sqrt(8m+1)]/2 (1)

et on doit avoir 8m+1 comme un nombre carré parfait (2) pour que n soit un nombre naturel

=> (m,n) est adéquat ssi les conditions (1) et (2) sont vérifiées
Anonyme
Posté le : 5/5/2013 22:40  Mis à jour : 5/5/2013
Qui pourrait corriger svp ?
Nicolas Radu
Posté le : 6/5/2013 14:28  Mis à jour : 6/5/2013
Ton raisonnement a l'air correct, mais tu peux aller plus loin dans la description de l'ensemble.
En effet, tous les nombres carrés impairs sont de la forme 8m+1 (et les carrés pairs ne le sont pas). Donc partant de ça, il faut que 8m+1 soit égal à (2y+1)², c'est à dire m = y(y+1)/2. Et à partir de ta formule pour n, on trouve que n = y(y-1)/2 ou n = (y+1)(y+2)/2. Donc l'ensemble des solutions est donné par l'ensemble des couples
[y(y+1)/2, y(y-1)/2] pour y >= 1 et
[y(y+1)/2, (y+1)(y+2)/2] pour y >= 0
Pour y = 3, on retrouve bien les deux solutions de (b), et pour y = 5, la première donne (10,15).
Anonyme
Posté le : 16/5/2013 14:45  Mis à jour : 16/5/2013
Merci Nicolas Radu, il y aurait un site ou un endroit où on pourrait avoir des développements de réponses pour les questions d'olympiade à tous niveaux (pour les éliminatoires, demi-finales) ?

Des fois, je n'arrive pas à la réponse souhaitée et j'aurais voulu comprendre d'où elle vient...
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