|
Solution(s) proposée(s) : |
Solution de Antoine Dupuis |
Les commentaires appartiennent à leurs auteurs. Nous ne sommes pas responsables de leur contenu. |
Anonyme | Posté le : 5/5/2013 22:38 Mis à jour : 5/5/2013 |
Pour (m,n), on aura en général d=m*n et e=m(m-1)/2 + n(n-1)/2.
(a) d=10*15=150 e=5*9+7*15=150 (b) d=e ssi 6n=15+n(n-1)/2 ssi n^2-13n+30=0 ssi n=3 ou n=10 => (6,3) et (6,10) sont adéquats (c) d=e ssi n^2-(2m+1)n+m(m-1)=0 ssi n=[(2m+1)+-sqrt(8m+1)]/2 (1) et on doit avoir 8m+1 comme un nombre carré parfait (2) pour que n soit un nombre naturel => (m,n) est adéquat ssi les conditions (1) et (2) sont vérifiées |
|
Anonyme | Posté le : 5/5/2013 22:40 Mis à jour : 5/5/2013 |
Qui pourrait corriger svp ?
|
|
Nicolas Radu | Posté le : 6/5/2013 14:28 Mis à jour : 6/5/2013 |
Ton raisonnement a l'air correct, mais tu peux aller plus loin dans la description de l'ensemble.
En effet, tous les nombres carrés impairs sont de la forme 8m+1 (et les carrés pairs ne le sont pas). Donc partant de ça, il faut que 8m+1 soit égal à (2y+1)², c'est à dire m = y(y+1)/2. Et à partir de ta formule pour n, on trouve que n = y(y-1)/2 ou n = (y+1)(y+2)/2. Donc l'ensemble des solutions est donné par l'ensemble des couples [y(y+1)/2, y(y-1)/2] pour y >= 1 et [y(y+1)/2, (y+1)(y+2)/2] pour y >= 0 Pour y = 3, on retrouve bien les deux solutions de (b), et pour y = 5, la première donne (10,15). |
|
Anonyme | Posté le : 16/5/2013 14:45 Mis à jour : 16/5/2013 |
Merci Nicolas Radu, il y aurait un site ou un endroit où on pourrait avoir des développements de réponses pour les questions d'olympiade à tous niveaux (pour les éliminatoires, demi-finales) ?
Des fois, je n'arrive pas à la réponse souhaitée et j'aurais voulu comprendre d'où elle vient... |
|