Pour (m,n), on aura en général d=m*n et e=m(m-1)/2 + n(n-1)/2.

(a) d=10*15=150
e=5*9+7*15=150

(b) d=e ssi 6n=15+n(n-1)/2 ssi n^2-13n+30=0 ssi n=3 ou n=10

=> (6,3) et (6,10) sont adéquats

(c) d=e ssi n^2-(2m+1)n+m(m-1)=0 ssi n=[(2m+1)+-sqrt(8m+1)]/2 (1)

et on doit avoir 8m+1 comme un nombre carré parfait (2) pour que n soit un nombre naturel

=> (m,n) est adéquat ssi les conditions (1) et (2) sont vérifiées

Qui pourrait corriger svp ?

Ton raisonnement a l'air correct, mais tu peux aller plus loin dans la description de l'ensemble.
En effet, tous les nombres carrés impairs sont de la forme 8m+1 (et les carrés pairs ne le sont pas). Donc partant de ça, il faut que 8m+1 soit égal à (2y+1)², c'est à dire m = y(y+1)/2. Et à partir de ta formule pour n, on trouve que n = y(y-1)/2 ou n = (y+1)(y+2)/2. Donc l'ensemble des solutions est donné par l'ensemble des couples
[y(y+1)/2, y(y-1)/2] pour y >= 1 et
[y(y+1)/2, (y+1)(y+2)/2] pour y >= 0
Pour y = 3, on retrouve bien les deux solutions de (b), et pour y = 5, la première donne (10,15).

Merci Nicolas Radu, il y aurait un site ou un endroit où on pourrait avoir des développements de réponses pour les questions d'olympiade à tous niveaux (pour les éliminatoires, demi-finales) ?

Des fois, je n'arrive pas à la réponse souhaitée et j'aurais voulu comprendre d'où elle vient...